1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tan là một trong ba hàm lượng giác cơ bản trong chương trình Toán lớp 10. Việc hiểu rõ hàm tan giúp bạn giải được nhiều bài toán lượng giác, phương trình và bất phương trình lượng giác, cũng như ứng dụng trong thực tế như đo đạc, xây dựng, tính toán các góc trong hình học và vật lý. Thành thạo hàm tan còn giúp bạn học tốt các phần kiến thức nâng cao hơn trong các lớp sau. Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.227+ bài tập Hàm tan ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Với một góc $x$, hàm tan (ký hiệu là $\tan$) được định nghĩa bởi:

Tức là, giá trị của hàm tan bằng tỷ số giữa giá trị của hàm sin và hàm cos tại cùng một góc.

• Định lý quan trọng:$\tan x$chỉ xác định khi$\cos x \neq 0$(tức$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$).
• Tập xác định của hàm tan: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$.
• Hàm tan là hàm số lẻ:$\tan(-x) = -\tan x$.
• Chu kỳ của hàm tan là $\pi$, tức$\tan(x + \pi) = \tan x$.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cơ bản: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
• Góc đặc biệt:$\tan 0 = 0$,$\tan \frac{\pi}{4} = 1$,$\tan \pi = 0$.
• Công thức cộng:$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$.
• Công thức hiệu:$\tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$.

Cách nhớ công thức: Học theo bảng các giá trị lượng giác đặc biệt, luyện thuộc công thức cộng - hiệu kết hợp ví dụ minh họa. Lưu ý điều kiện mẫu khác 0 khi áp dụng.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Tính$\tan 45^\circ$.

Giải:

1. Biết $\tan 45^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}$.
2. Tra bảng lượng giác: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. Nên $\tan 45^\circ = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$.

Lưu ý: Chỉ tính được khi$\cos x \neq 0$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Tính $\tan(75^\circ)$biết$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \tan 45^\circ = 1$.

Giải:

1. Ta có:$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$. Áp dụng công thức cộng:
2. $\tan 75^\circ = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}$
3. Thay số: $= \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$.

Cách giải nhanh: Nhớ các góc đặc biệt và cách áp dụng công thức cộng hiệu, luôn kiểm tra điều kiện mẫu khác 0.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khi$x = 90^\circ, 270^\circ,...$($x = \frac{\pi}{2} + k\pi$),$\tan x$không xác định.
• Nếu$x$là góc đối nhau:$\tan(180^\circ + x) = \tan x$.
• Mối liên hệ:$\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Xử lý ngoại lệ: Chú ý các giá trị $x$làm mẫu số bằng 0.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa$\tan x$và $\cot x$.
• Quên điều kiện xác định của hàm tan.

Phân biệt dễ dàng: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$còn$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Luôn ghi nhớ điều kiện xác định trước khi giải.

5.2 Lỗi về tính toán

• Lỗi thay nhầm giá trị sin, cos.
• Áp dụng sai công thức cộng/hiệu.
• Quên kiểm tra điều kiện mẫu số khác 0.

Luôn soát lại phép thay số; luyện tập tự tính nháp nhiều lần; kiểm tra điều kiện xác định mỗi lần giải.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 42.227+ bài tập Hàm tan miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay lập tức và theo dõi tiến độ học tập để cải thiện kỹ năng giải toán của mình mỗi ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hàm tan: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, xác định khi $\cos x \neq 0$.
• Thuộc lòng các công thức cộng – hiệu và bảng giá trị đặc biệt.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi tính.
• Thường xuyên luyện tập bài tập Hàm tan miễn phí để thành thạo.

Checklist kiến thức: Định nghĩa, tập xác định, công thức cộng – hiệu, lỗi phổ biến, ứng dụng thực tiễn. Lên kế hoạch luyện tập đều đặn để củng cố lý thuyết và kỹ năng giải bài tập.