Blog

Hàm tan – Khái niệm, tính chất và hướng dẫn toàn diện cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về hàm tan và ý nghĩa của nó trong toán học

Khi học về các hàm số lượng giác trong chương trình Toán lớp 10, học sinh sẽ làm quen với hàm tan (tan\tan) – một trong những hàm cơ bản và quan trọng nhất. Hàm tan không chỉ xuất hiện nhiều trong các bài toán hình học, đại số mà còn đóng vai trò lớn trong các ứng dụng thực tiễn như vật lý, kỹ thuật, công nghệ thông tin,... Việc hiểu kỹ khái niệm và cách sử dụng hàm tan sẽ giúp học sinh nắm vững nền tảng để tiếp tục học các nội dung sâu hơn về lượng giác và các kiến thức toán học nâng cao khác.

2. Định nghĩa chính xác hàm tan

Hàm tan (ký hiệu:tanx\tan x) là một hàm số lượng giác, được định nghĩa như sau:

tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}

Trong tam giác vuông, tan của một góc nhọn là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc đó:

Lưu ý: Hàm số tanx\tan xchỉ xác định khicosx0\cos x \neq 0(tức là xπ2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, vớikknguyên).

3. Giải thích chi tiết cùng ví dụ minh họa

Giả sử ta có tam giác vuôngABCABC, với góc vuông tạiBB. Gọiα=BAC\alpha = \angle BAClà một góc nhọn. Khi đó, theo định nghĩa:

tanα=BCAB\tan \alpha = \frac{BC}{AB}

Ví dụ: Cho tam giác vuôngABCABCAB=3AB = 3cm,BC=4BC = 4cm. Tínhtanα\tan \alphavớiα=BAC\alpha = \angle BAC.

Ta có:

tanα=BCAB=43\tan \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}

Khi không có tam giác cụ thể, ta vẫn có thể tính giá trị của hàm tan tại các góc thông dụng:

  • tan0=0\tan 0^\circ = 0
  • tan45=1\tan 45^\circ = 1
  • tan60=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}

  • tan90\tan 90^\circkhông xác định.
  • 4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

    - Hàm số tanx\tan xkhông xác định tạix=π2+kπx = \frac{\pi}{2} + k\pi(kZk \in \mathbb{Z}). Tại các giá trị này,cosx=0\cos x = 0.
    - Hàm số tanx\tan xlà hàm số lẻ:tan(x)=tanx\tan(-x) = -\tan x.
    - Tính chất tuần hoàn: Chu kỳ của hàm tan là π\pi. Nghĩa là tan(x+π)=tanx\tan(x+\pi) = \tan x.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    - Hàm tan được biểu diễn bằng sin\sincos\cos: tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
    - Đạo hàm của hàm tan (advanced): ddxtanx=1+tan2x=1cos2x\frac{d}{dx}\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}.
    - Có liên hệ với các diện tích, tỉ số lượng giác khác trong tam giác.

    6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài tập 1: Tính tan30\tan 30^\circ.
    Giải: Ta biết tan30=130,577\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577.

    Bài tập 2: Cho tam giác vuôngABCABCtạiBB,AB=5AB = 5,BC=12BC = 12. Tínhtanα\tan \alphavớiα=BAC\alpha = \angle BAC.

    Giải:tanα=BCAB=125=2,4\tan \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{5} = 2,4.

    Bài tập 3: Tìm các giá trị củaxxtrong khoảng[0,2π][0, 2\pi]sao chotanx=1\tan x = 1.
    Giải:tanx=1x=π4+kπ\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi,kZk \in \mathbb{Z}.
    Trong[0,2π][0, 2\pi], các giá trị thỏa mãn là x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4},x2=5π4x_2 = \frac{5\pi}{4}.

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Quên điều kiện xác định: Không kiểm tracosx0\cos x \neq 0khi sử dụng hàm tan.
  • Nhầm lẫn giữatanx\tan xcotx\cot x.
  • Sai dấu khi sử dụng các góc có giá trị âm hoặc ngoài khoảng[0,π/2][0, \pi/2].
  • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Hàm tan là tỉ số lượng giác: tanx=sinxcosx\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
  • Điều kiện xác định:cosx0\cos x \neq 0, hayxπ2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k \pi.
  • Biết tính toán với các góc thông dụng và áp dụng vào bài toán thực tế.
  • Chú ý các trường hợp đặc biệt và không nhầm lẫn với các hàm lượng giác khác.
  • Nắm vững kiến thức về hàm tan sẽ giúp các em tự tin hơn trong các bài tập lượng giác cũng như các ứng dụng toán học khác.

    Danh mục:

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".