Hàm tổ hợp C(n, k): Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tổ hợp$C(n, k)$là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, giúp giải quyết bài toán đếm số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử phân biệt mà không quan tâm thứ tự. Hiểu rõ $C(n, k)$giúp học tốt các chủ đề tổ hợp, xác suất, thống kê trong toán học cũng như vận dụng linh hoạt vào đời sống như chọn đội bóng, bốc thăm trúng thưởng, xếp lịch,... Bạn còn có cơ hội luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập tự động kiểm tra đáp án!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bảnĐịnh nghĩa:$C(n, k)$(hay$\mathrm{C}^k_n$,$\binom{n}{k}$) là số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử, không quan tâm thứ tự.Điều kiện áp dụng:$0 \leq k \leq n$,$n, k$là số nguyên không âm.Tính chất chính:$C(n, 0) = C(n, n) = 1$,$C(n, 1) = C(n, n-1) = n$Tổng quát:$C(n, k) = C(n, n-k)$.Định lý Pascal:$C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)$.2.2. Công thức và quy tắcCông thức cơ bản:$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$(với$n!$là giai thừa của$n$).Cách ghi nhớ: Liệt kê số phần tử và số phần tử cần chọn, áp dụng đúng vai trò $n$và $k$.Công thức được sử dụng khi bài toán không quan tâm thứ tự sắp xếp.Biến thể: Dùng$C(n, k)$kết hợp với các công thức tổ hợp khác (hoán vị, chỉnh hợp) khi cần.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bảnBài toán: Có 5 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để trực nhật?

Giải:
- Nhận dạng: "chọn 2 bạn" không quan tâm ai được chọn trước.
- Áp dụng công thức:
$C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$
- Trả lời: Có 10 cách chọn.3.2 Ví dụ nâng caoBài toán: Một nhóm có 8 người (trong đó có bạn Lan). Có bao nhiêu cách chọn 3 người sao cho có ít nhất 1 bạn nữ (biết trong nhóm có 2 nữ: Lan và Hoa)?

Giải:
- Cách 1: Đếm toàn bộ số cách chọn 3 người:$C(8,3) = 56$
- Số cách chọn toàn nam (6 nam):$C(6,3) = 20$
- Số cách chọn có ít nhất 1 nữ:$56 - 20 = 36$

Bạn cũng có thể xét các trường hợp chứa 1, 2 nữ rồi cộng lại, nhưng cách trừ nhanh hơn và ít sai sót.

4. Các trường hợp đặc biệt

Nếu$k = 0$hoặc$k = n$thì $C(n, k) = 1$.Nếu$k < 0$hoặc$k > n$thì $C(n, k) = 0$(không có cách chọn).Liên hệ chỉnh hợp, hoán vị:$A(n, k) = k!C(n, k)$,$P(n) = n!$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệmNhầm$C(n, k)$với$A(n, k)$hoặc$P(n)$. Ghi nhớ:$C(n, k)$là tổ hợp, không quan tâm thứ tự.Quên điều kiện$0 \leq k \leq n$.5.2 Lỗi về tính toánTính sai giai thừa, đặc biệt với số lớn.Nhập sai thứ tự $n$,$k$(chọn số phần tử lớn$n$, chọn số nhóm nhỏ $k$).Quên kiểm tra giá trị kết quả (phải là số nguyên dương, không thể âm hoặc lẻ).

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể thực hành với hơn 42.226+ bài tập Hàm tổ hợp C(n, k) miễn phí trên hệ thống. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức và kiểm tra đáp án tự động. Theo dõi tiến độ học tập của mình để ngày càng thành thạo hơn!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Nắm chắc định nghĩa và công thức$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.Biết nhận diện tình huống sử dụng tổ hợp.Kiểm tra kỹ điều kiện$n, k$và tính toán cẩn thận giai thừa.Tập luyện đều để thành thạo, tự tin làm bài kiểm tra và nhanh nhạy trong các bài toán thực tế.

Checklist:
- [ ] Đọc kỹ khái niệm và công thức
- [ ] Làm 5–10 bài tập mẫu
- [ ] Ghi nhớ tính chất đặc biệt (nếu$k = 0$,$k = n$,...)
- [ ] Ôn lại lỗi thường gặp
- [ ] Kiểm tra kỹ kết quả trước khi nộp bài

Chúc các bạn học thật tốt và đạt điểm cao với Hàm tổ hợp C(n, k)!