1. Giới thiệu về khái niệm hàm tổ hợp C(n, k)

Toán học là một môn khoa học khám phá và giải quyết các vấn đề thực tiễn, trong đó tổ hợp đóng vai trò quan trọng trong việc đếm số cách chọn, sắp xếp các đối tượng. Hàm tổ hợp$C(n, k)$là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta trả lời các câu hỏi như: “Có bao nhiêu cách chọn$k$đối tượng từ$n$ đối tượng mà không quan tâm đến thứ tự?”. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong chương trình toán lớp 10, phục vụ cho các phần học sâu hơn, như xác suất, giải tích tổ hợp, và ứng dụng trong các lĩnh vực khác.

2. Định nghĩa chính xác hàm tổ hợp C(n, k)

Hàm tổ hợp$C(n, k)$, còn gọi là “số tổ hợp chập k của n”, được định nghĩa là số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử khác nhau (với$0 \leq k \leq n$), không xét đến thứ tự. Ký hiệu:

Trong đó $n!$(n giai thừa) là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến$n$. Ký hiệu “!” đọc là “giai thừa”.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có 5 học sinh, bạn muốn chọn ra 2 bạn để tham gia một cuộc thi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Như vậy, có 10 cách chọn 2 bạn từ 5 bạn.

Giải thích cụ thể từng bước:

- Tính$n! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
- Tính$k! = 2! = 2 \times 1 = 2$.
- Tính$(n-k)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
- Thay vào công thức:$<br />\frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$.

Ví dụ 2: Từ 7 quyển sách khác nhau, chọn ra 7 quyển để xếp lên giá:

Chỉ có 1 cách chọn, đó là chọn tất cả các quyển sách.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• -$C(n, 0) = 1$: chỉ có 1 cách chọn 0 phần tử (không chọn gì).
  -$C(n, n) = 1$: chỉ có 1 cách chọn tất cả phần tử.
  -$C(n, 1) = n$: chọn 1 phần tử từ $n$phần tử.
  -$C(n, k) = C(n, n-k)$: số cách chọn$k$phần tử bằng số cách chọn$n-k$phần tử còn lại.
  - Giai thừa$0! = 1$(quy ước).
  - Điều kiện áp dụng:$0 \leq k \leq n$và $n, k$là số nguyên không âm.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• - Liên hệ với chỉnh hợp: $A(n, k) = n(n-1)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$; $C(n, k) = \frac{A(n, k)}{k!}$(tức là tổ hợp là chỉnh hợp bỏ qua thứ tự).
  - Trong xác suất: Dùng$C(n, k)$để tính các trường hợp lựa chọn, phân tổ các sự kiện không thứ tự.
  - Liên hệ với tam giác Pascal: Các số trong tam giác Pascal chính là các giá trị$C(n, k)$.
  - Dùng trong khai triển nhị thức Newton: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k}b^k$.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trong một tổ có 8 học sinh, cần chọn ra 3 bạn đi thi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải:
Tính$C(8, 3)$.

Đáp án: Có 56 cách chọn.

Bài tập 2: Từ 12 người, lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách chọn?

Đáp án: Có 495 cách chọn.

Bài tập 3: Có bao nhiêu cách chọn 0 học sinh từ 15 học sinh?
Giải:$C(15, 0) = 1$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• - Nhầm lẫn giữa tổ hợp và chỉnh hợp (chỉnh hợp có thứ tự, tổ hợp không thứ tự).
  - Quên điều kiện$0 \leq k \leq n$.
  - Quên lấy giai thừa đúng:$0! = 1$.
  - Nhập sai các giá trị vào công thức, đặc biệt khi tính$n!$,$k!$,$(n-k)!$.
  - Bấm máy tính không cẩn thận dễ dẫn đến sai số.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• - Hàm tổ hợp$C(n, k)$là số cách chọn$k$phần tử từ $n$mà không quan tâm thứ tự.
  - Công thức:$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
  - Nhớ các trường hợp đặc biệt:$C(n, 0) = C(n, n) = 1$
  - Liên hệ với chỉnh hợp, tam giác Pascal, xác suất, khai triển nhị thức Newton.
  - Tránh nhầm lẫn với chỉnh hợp, bấm máy và thay số cẩn thận.

Việc hiểu rõ hàm tổ hợp$C(n, k)$giúp học sinh giải quyết các bài toán thực tiễn lẫn lý thuyết trong chương trình lớp 10 và là nền tảng quan trọng cho việc học tập các kiến thức nâng cao hơn về xác suất, đại số, giải tích tổ hợp.