Hàm tổ hợp C(n, k): Giải thích chi tiết, ví dụ và luyện tập miễn phí cho học sinh lớp 10

Hàm tổ hợp$C(n, k)$là một khái niệm cơ bản trong chương trình toán học lớp 10, thuộc chủ đề tổ hợp – xác suất. Việc hiểu rõ $C(n, k)$giúp học sinh giải quyết các bài toán đếm, xác suất, và nhiều tình huống thực tế. Từ việc chọn bạn trong nhóm, sắp xếp đội hình, đến các bài tập toán ứng dụng, tổ hợp xuất hiện rất thường xuyên. Bạn sẽ được luyện tập miễn phí với42.226+ bài tập tổ hợp trên nền tảng của chúng tôi!

Định nghĩa: Hàm tổ hợp$C(n, k)$(hay còn gọi là số tổ hợp chập$k$của$n$phần tử phân biệt) là số cách chọn ra$k$phần tử từ $n$phần tử phân biệt, không phân biệt thứ tự. Hay nói cách khác, chọn nhóm$k$người từ $n$người mà không quan tâm đến vị trí từng người trong nhóm.

Tính chất quan trọng:

• Không quan tâm thứ tự sắp xếp giữa các phần tử.
• $C(n, k) = C(n, n-k)$(chọn k hay n-k đều giống nhau).
• $C(n, 0) = C(n, n) = 1$(chỉ có 1 cách chọn không lấy gì hoặc lấy tất cả).

Điều kiện áp dụng:$0 \leq k \leq n$, cả $n$và $k$ đều là số nguyên không âm.

Công thức chuẩn cần nhớ:

Công thức tính số tổ hợp chập$k$của$n$phần tử phân biệt:

Trong đó $n!$(giai thừa n) là:$n! = n \times (n-1) \times... \times 2 \times 1$; với$0! = 1$.

• Cách ghi nhớ: Điền số lớn nhất vào n, số chọn vào k, thay vào công thức.
• Nhớ $C(n, k) = C(n, n-k)$ để giảm tính toán khi k lớn.

Các biến thể phổ biến:

• Tổ hợp lặp:$C'(n, k) = C(n+k-1, k)$– trường hợp chọn có lặp.

Bài toán: Một lớp có 5 bạn A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn đi dự hội thảo?

Lời giải từng bước:

• Bước 1: Xác định$n = 5$(số bạn),$k = 2$(số bạn chọn).
• Bước 2: Áp dụng công thức$C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times 3!}$.
• Bước 3: Tính toán:$5! = 120$,$2! = 2$,$3! = 6$.
• Bước 4:$C(5, 2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$(cách).

Lưu ý: Không phân biệt thứ tự A-B và B-A (chọn nhóm, không chọn vị trí).

Bài toán: Từ 10 quyển sách khác nhau, chọn ra 4 quyển để tặng. Nếu có 2 quyển đặc biệt mà mỗi lần tặng tối đa chỉ được chọn 1 quyển đặc biệt, thì có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải: Xét hai trường hợp:

• TH1: Không chọn quyển đặc biệt nào. Chọn 4 quyển từ 8 còn lại:$C(8, 4)$.
• TH2: Chọn 1 quyển đặc biệt và 3 từ 8 còn lại:$C(2,1) \times C(8,3) = 2 \times 56 = 112$.

Tổng số cách:$C(8,4) + 112 = 70 + 112 = 182$(cách).

Khai thác linh hoạt kiến thức tổ hợp để giải quyết bài toán có điều kiện đặc biệt!

• Nếu$k = 0$hoặc$k = n$⇒$C(n, k) = 1$.
• Nếu$k > n$⇒$C(n, k) = 0$(không thể chọn nhiều hơn số phần tử có).
• Mối liên hệ với chỉnh hợp:$A(n, k) = k! \times C(n, k)$(nếu có phân biệt thứ tự).

• Nhầm giữa tổ hợp (không phân biệt thứ tự) và chỉnh hợp (có phân biệt thứ tự).
• Hiểu sai định nghĩa (không áp dụng đúng khi có lặp/phân biệt thứ tự).

Cách phân biệt: Nếu nhóm không quan trọng thứ tự → tổ hợp$C(n, k)$.

• Tính sai giai thừa, quên nhân chia đúng thành phần công thức.
• Nhập nhầm số liệu$n, k$vào công thức hoặc tính toán nhầm.

Phương pháp kiểm tra: Dùng$C(n, k) = C(n, n-k)$ để đối chiếu kết quả; kiểm tra lại$n!$,$k!$và $(n-k)!$.

Truy cập ngay 42.226+ bài tập Hàm tổ hợp C(n, k) miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập ngay, kiểm tra tiến độ và cải thiện kỹ năng từng ngày!

• Nhớ công thức:$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• Điều kiện:$0 \leq k \leq n$,$n, k$là số nguyên không âm.
• Hiểu rõ khác biệt giữa tổ hợp, chỉnh hợp và hoán vị.

Checklist trước khi làm bài: Kiểm tra đúng khái niệm, xác định đúng$n, k$, áp dụng đúng công thức, kiểm tra kết quả sau tính toán. Ôn tập các dạng bài mẫu và luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán tổ hợp.