Hàm tổ hợp C(n, k): Khái niệm, công thức, ví dụ chi tiết và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tổ hợp$C(n, k)$(còn gọi là "n chọn k") là một khái niệm cơ bản trong chương trình Toán lớp 10, thường xuyên xuất hiện trong các bài toán về tổ hợp, xác suất và thống kê. Việc hiểu rõ hàm tổ hợp không chỉ giúp bạn giải được nhiều dạng bài tập trong SGK, đề thi mà còn có ý nghĩa thực tế khi giải quyết các vấn đề liên quan đến chọn lựa, sắp xếp ngoài đời sống. Ngày nay, các khái niệm này còn được sử dụng trong tin học, xác suất, thống kê, sinh học, v.v. Trên trang này, bạn sẽ được luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập Hàm tổ hợp C(n, k) miễn phí!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hàm tổ hợp$C(n, k)$là số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử khác nhau, không phân biệt thứ tự. Theo định nghĩa:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

- Trong đó $n!$(giai thừa) là $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times... \times 2 \times 1$, quy ước$0! = 1$.

- Điều kiện:$0 \le k \le n$, với$n$và $k$là số nguyên không âm.

- Các tính chất quan trọng:

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức chính cần thuộc lòng:$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

- Cách ghi nhớ: liên hệ thực tế bằng ví dụ đơn giản (ví dụ: chọn 2 bạn từ 5 bạn).

- Điều kiện sử dụng: chỉ dùng cho trường hợp chọn các phần tử không lặp lại, không quan tâm thứ tự.

- Biến thể:

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Có 5 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để đi thi?

Lời giải:

Lưu ý: Không phân biệt thứ tự, tức chọn A và B hay chọn B và A được tính là một.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Từ 7 học sinh gồm 3 nam và 4 nữ, chọn ra 3 bạn đi thi, trong đó phải có ít nhất 1 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

$C(7, 3) = 35$

Kỹ thuật giải: Sử dụng phương pháp đếm bổ sung để đơn giản bài toán.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi$k = 0$hoặc$k = n$:$C(n, k) = 1$(chỉ có một cách chọn hết hoặc không chọn phần tử nào)

- Khi$k > n$:$C(n, k) = 0$(không thể chọn nhiều phần tử hơn tổng số ban đầu)

- Liên hệ với các khái niệm khác: Sử dụng trong Nhị thức Newton, xác suất, chỉnh hợp.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai giữa tổ hợp và chỉnh hợp (chọn vs sắp xếp).

- Không nhận ra khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp.

- Ghi nhớ: Chỉ dùng tổ hợp khi KHÔNG quan trọng thứ tự các phần tử.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên áp dụng$0! = 1$, tính sai giá trị giai thừa.

- Nhập dữ liệu cho máy tính bỏ túi sai thứ tự.

- Phương pháp kiểm tra: đối chiếu kết quả với tính chất$C(n, k) = C(n, n-k)$, kiểm tra kết quả với ví dụ nhỏ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho 42.226+ bài tập hàm tổ hợp C(n, k) miễn phí. Không cần đăng ký, bạn có thể bắt đầu luyện tập, kiểm tra tiến độ và cải thiện kỹ năng ngay hôm nay!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Checklist ôn tập:

Kế hoạch ôn tập: Học lý thuyết, luyện ví dụ, giải bài tập đa dạng, kiểm tra lặp lại sau mỗi tuần để ghi nhớ lâu dài.