Hàm tổ hợp C(n, k): Khái niệm, Công thức và Cách Dùng – Học Sinh Lớp 10 Cần Biết

1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Hàm tổ hợp C(n, k)

Hàm tổ hợp$C(n, k)$là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Đây là công cụ giúp chúng ta xác định số cách chọn ra$k$phần tử từ $n$phần tử phân biệt mà không phân biệt thứ tự. Việc hiểu kỹ khái niệm này tạo nền tảng cho các bài toán về tổ hợp, xác suất và các ứng dụng thực tế như: sắp xếp đội nhóm, chọn bài thi, xác suất xuất hiện sự kiện,... Với hơn42.226+ bài tập luyện tập miễn phí, bạn sẽ rèn luyện kỹ năng giải từng dạng bài về Hàm tổ hợp C(n, k) nhanh chóng và chính xác.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản về tổ hợp C(n, k)

- Định nghĩa: Số tổ hợp chập$k$của$n$phần tử (ký hiệu$C(n,k)$hay$\mathrm{C}_n^k$) là số cách chọn ra$k$phần tử từ $n$phần tử phân biệt, không quan tâm thứ tự chọn.

- Tính chất:
+$C(n,0) = C(n,n) = 1$(chỉ có một cách chọn không phần tử hoặc chọn tất cả).
+$C(n, k) = C(n, n-k)$(chọn$k$phần tử cũng như chọn$n-k$phần tử còn lại).
+ Điều kiện:$0 \leq k \leq n$; nếu$k < 0$hoặc$k > n$thì $C(n,k) = 0$.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cơ bản cần nhớ:
$<br />C(n, k) = \mathrm{C}_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}<br />$
Trong đó $n!$(n giai thừa) là $n \times (n-1) \times \cdot s \times 2 \times 1$.

- Một số biến thể quan trọng:
+$C(n, 1) = n$
+$C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}$
+$C(n, 0) = 1$
- Quy tắc ghi nhớ: Nhớ công thức phải luôn để ý điều kiện$0 \leq k \leq n$và sử dụng tính chất đối xứng$C(n, k) = C(n, n-k)$ để tính nhanh khi cần.
- Công thức truy hồi (Pascal):
$<br />C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)<br />$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Từ 5 bạn A, B, C, D, E. Có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để lập một nhóm?

- Lời giải:
Ta áp dụng công thức tổ hợp:
$<br />C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10<br />$

Vậy có 10 cách chọn 2 bạn từ 5 bạn.

Lưu ý:
+ Không phân biệt thứ tự (chọn A và B hay B và A là giống nhau, chỉ tính 1 lần).
+ Không sử dụng hoán vị hay chỉnh hợp ở đây.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Một lớp có 8 nam, 7 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh để lập đội thi, trong đó có ít nhất 1 nam?

- Lời giải:
Tổng số cách chọn bất kỳ 3 bạn:
$<br />C(15, 3) = 455<br />$
Số cách chọn 3 bạn toàn nữ:
$<br />C(7, 3) = 35<br />$
Số cách chọn thỏa mãn điều kiện là:
$<br />455 - 35 = 420<br />$

Kỹ thuật: Tính tổng trừ trường hợp không thỏa (cả 3 bạn đều là nữ).

Lưu ý: Khi đề cho điều kiện 'ít nhất', nên xét bổ sung các trường hợp và sử dụng kiến thức tổ hợp linh hoạt.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$k = 0$hoặc$k = n$thì $C(n, k) = 1$(chọn không chọn hoặc chọn hết, chỉ 1 cách).
- Nếu$k > n$hoặc$k < 0$,$C(n, k) = 0$(không thể chọn nhiều hơn tổng số phần tử hoặc chọn số âm phần tử).
- Mối liên hệ với xác suất:$C(n, k)$ được dùng nhiều trong tính xác suất xuất hiện biến cố (VD: xác suất rút được 2 lá bài đỏ từ bộ bài...)
- Liên hệ với chỉnh hợp, hoán vị thông qua các công thức biến đổi.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn tổ hợp với chỉnh hợp/hoán vị (lưu ý tổ hợp không quan tâm thứ tự).
- Hiểu sai điều kiện áp dụng (đặc biệt là $k$ âm hoặc lớn hơn$n$).

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong tính giai thừa, hoặc rút gọn phân số.
- Không áp dụng đúng tính chất đối xứng để rút ngắn phép tính.
- Quên điều kiện$0 \leq k \leq n$.
- Cách kiểm tra: Sau khi tính, thử lại một vài giá trị nhỏ (VD:$C(5,2)$) để biết phương pháp đúng.
- So sánh kết quả với tính chất$C(n, k) = C(n, n-k)$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay hơn 42.226 bài tập Hàm tổ hợp C(n, k) miễn phí. Không cần đăng ký, chỉ cần chọn bài và làm ngay trên website. Sau mỗi bài bạn sẽ biết điểm và đáp án, giúp dễ dàng theo dõi tiến bộ, cải thiện kỹ năng giải toán và ghi nhớ kiến thức hiệu quả nhất.

7. Tóm tắt và ghi nhớ chính

- Hàm tổ hợp$C(n, k)$là số cách chọn$k$phần tử từ $n$phần tử phân biệt.
- Nắm chắc công thức:$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
- Luôn ghi nhớ điều kiện$0 \leq k \leq n$.
- Kiểm tra kết quả bằng các tính chất đối xứng và giá trị nhỏ.

Checklist ôn tập:
✓ Công thức, tính chất chính, điều kiện áp dụng
✓ Phân biệt với hoán vị, chỉnh hợp
✓ Áp dụng công thức trong nhiều trường hợp
✓ Luyện tập nhiều dạng bài để nhớ lâu

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Mỗi ngày làm từ 5-10 bài luyện tập, kiểm tra lại bước giải và xem kỹ câu sai, từ đó tiến bộ nhanh hơn!