Hàm tuyến tính F = ax + by – Kiến thức trọng tâm và luyện tập miễn phí cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm tuyến tính hai biến là một phần quan trọng trong chương trình toán 10, được mô tả bằng công thức$F = ax + by$, trong đó $a, b$là các hằng số,$x, y$là các biến số. Việc hiểu rõ khái niệm này giúp các bạn nắm chắc nền tảng đại số và giải quyết tốt các bài toán thực tế như bài toán tối ưu, chuyển động, kinh tế... Hiểu đúng về hàm tuyến tính cũng là bước đệm để học các chủ đề nâng cao như hệ phương trình, bất phương trình hai ẩn và hình học giải tích. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập42.226+ bài tập miễn phí để củng cố kỹ năng mọi lúc mọi nơi!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hàm tuyến tính hai biến là hàm số có dạng $F = ax + by$, trong đó $a, b$là những hằng số. Hàm tuyến tính thể hiện mối quan hệ tuyến tính (tỉ lệ) giữa$F$với$x$và $y$. Nếu một biến thay đổi thì $F$cũng thay đổi theo cùng một tỉ lệ với hệ số tương ứng.

• Hàm tuyến tính là một mặt phẳng trong không gian 3 chiều ($x, y, F$).
• Hàm tuyến tính có thể dùng để biểu diễn các mối liên hệ thực tế như tính chi phí, vận tốc, khối lượng…
• Hàm tuyến tính là nền tảng để học các dạng bài nâng cao hơn như hệ phương trình tuyến tính, bài toán tối ưu hóa.

Điều kiện sử dụng:$a$và $b$có thể là bất kỳ số thực nào.$x, y$thường được xác định trong phạm vi bài toán.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cơ bản cần nhớ:$F = ax + by$
• Nếu giữ $y$không đổi, hàm trở thành một hàm tuyến tính một ẩn:$F = a x + k$với$k = b y$cố định.
• Nếu giữ $x$không đổi, ta cũng có $F = b y + k'$với$k' = a x$cố định.
• Có thể cộng, trừ hai hàm tuyến tính cùng dạng; các hệ số sẽ cộng trừ tương ứng.

Cách ghi nhớ: Gắn hệ số $a$với$x$,$b$với$y$– như đường thẳng trong mặt phẳng, nhưng thêm yếu tố biến thứ hai.

Các biến thể: Thỉnh thoảng hàm tuyến tính còn xuất hiện ở dạng$F = ax + by + c$, với$c$là hằng số tự do. Trường hợp này vẫn là tuyến tính vì các biến chỉ ở bậc nhất.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho hàm số $F = 2x + 5y$. Hãy tính$F$khi$x = 3$,$y = -1$.

• Bước 1: Xác định hàm số, hệ số $a, b$và giá trị $x, y$.
• Bước 2: Thay giá trị vào công thức:$F = 2 \times 3 + 5 imes (-1) = 6 - 5 = 1$.
• Bước 3: Kết quả:$F = 1$.

Lưu ý: Luôn thay đúng giá trị $x$,$y$, kiểm tra dấu âm, dương cẩn thận.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Hãy tìm các giá trị nguyên của$x, y$để$F = 4x - 3y = 10$.

• Bước 1: Chuyển đổi phương trình:$4x - 3y = 10$nên$4x = 10 + 3y$.
• Bước 2: Do$x$nguyên,$10 + 3y$phải chia hết cho 4. Ta thử các giá trị $y = 2; 6; 10;...$
• Bước 3: Với$y = 2$:$4x=10+6=16 \Rightarrow x=4$(nguyên hợp lệ). Với$y=6$:$4x=10+18=28 \Rightarrow x=7$...

Kết luận: Các cặp$(x, y)$thỏa mãn là $(4,2), (7,6), (10,10),...$với$y = 2 + 4k$,$k \in \mathbb{Z}$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$a = 0$hoặc$b = 0$, hàm chỉ phụ thuộc vào một biến. Ví dụ:$F = 5y$là tuyến tính theo$y$.
• Nếu$a$và $b$ đồng thời bằng 0,$F$sẽ không còn là hàm phụ thuộc biến nào; đây là trường hợp đặc biệt cần chú ý.
• Khi bài toán có điều kiện ràng buộc như $0 \leq x \leq 10, y \geq 2$, cần kiểm tra giá trị $F$trên biên và trong miền xác định.

Liên hệ: Hàm tuyến tính liên quan tới đồ thị đường thẳng, bất phương trình bậc nhất hai ẩn, các bài toán tối ưu hóa thực tế.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn hàm tuyến tính hai biến với hàm đa thức bậc cao hơn, như $F = ax^2 + by$(không còn là tuyến tính).
• Quên rằng hệ số $a, b$có thể là âm, dương hoặc 0.
• Nhớ đúng: Tuyến tính ⇔ các biến đều ở bậc nhất.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai khi thay số âm (nhất là dấu trừ) hoặc nhầm lẫn hệ số $a$với$b$.
• Lỗi cộng, trừ hệ số khi chuyển vế hoặc giải hệ phương trình.
• Luôn kiểm tra lại phép thế số và kết quả cuối cùng để phát hiện lỗi.

Mách nhỏ: Hãy thử thay lại giá trị vào công thức để rà soát đáp án.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy luyện tập hơn 42.226+ bài tập Hàm tuyến tính F = ax + by miễn phí ngay tại đây! Không cần đăng ký, bạn bắt đầu luyện tập và kiểm tra tiến độ học tập bất cứ lúc nào. Hệ thống lưu lại kết quả, giúp bạn cải thiện kỹ năng nhanh chóng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Luôn nhớ công thức chính:$F = ax + by$.
• Phân biệt hàm tuyến tính với các dạng đa thức khác.
• Khi giải bài tập: xác định rõ hệ số $a, b$và tập giá trị của$x, y$.
• Luyện tập thường xuyên và kiểm tra lỗi sau khi tính.

Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày dành 10–15 phút luyện các bài tập mới, kết hợp đọc lại lý thuyết theo checklist trên để hoàn thiện kiến thức.