1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 10, "Hàm tuyến tính hai biến" là một khái niệm cơ bản và quan trọng, thuộc phần đại số. Hiểu đúng về hàm tuyến tính hai biến giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán về đường thẳng, bề mặt phẳng và nhiều ứng dụng thực tế như tính toán kinh tế, vật lý, tin học,...

Nắm chắc kiến thức về hàm tuyến tính hai biến sẽ giúp bạn:

• Giải quyết tốt các dạng toán đại số liên quan đến hệ phương trình, đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
• Hiểu và áp dụng vào thực tế như lập kế hoạch chi tiêu, quản lý dữ liệu, mô hình hóa các bài toán thực tế.
• Làm nền tảng lý thuyết vững chắc khi học các môn tự nhiên và lập trình.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 40.744+ bài tập Hàm tuyến tính hai biến ngay bên dưới để thành thạo kiến thức này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

• Định nghĩa: Hàm tuyến tính hai biến là hàm số có dạng tổng quát: $f(x, y) = ax + by + c$

Trong đó $x, y$là hai biến số;$a, b, c$là các hằng số với$a$và $b$không đồng thời bằng 0.

• Tập xác định của hàm thường là $\mathbb{R}^2$(tức mọi cặp$(x, y)$đều xác định được giá trị$f(x, y)$).
• Đồ thị của hàm tuyến tính hai biến là một mặt phẳng (nếu viết dưới dạng$z = ax + by + c$) hoặc một đường thẳng (khi xét$y$theo$x$).

• Định lý quan trọng: Đồ thị của phương trình$ax + by + c = 0$là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.

• Điều kiện áp dụng:$a$và $b$không đồng thời bằng$0$. Nếu$a = b = 0$, hàm không còn là tuyến tính hai biến.

• $f(x, y) = ax + by + c$là công thức tổng quát cần nhớ
• Để xác định một điểm thuộc đường thẳng: Thay tọa độ $(x, y)$vào biểu thức$ax + by + c$, nếu bằng$0$thì điểm đó thuộc đường thẳng.
• Ghi nhớ phương pháp xác định hệ số $a, b, c$khi biết các điều kiện (qua 2 điểm, song song, vuông góc...)
• Các biến thể:$y = mx + n$(dạng quen thuộc của đường thẳng, là trường hợp$b <br> \neq 0$và chia cả hai vế cho$b$)

Mẹo ghi nhớ: Hệ số $a, b$thể hiện "độ nghiêng" của mặt phẳng hoặc đường thẳng trên hệ trục tọa độ.$c$thường là hệ số tự do (tức cắt trục$z$hoặc$y$).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ: Cho hàm$f(x, y) = 2x + 3y - 6$. Xét điểm$A(1, 2)$. Điểm$A$có thuộc đường thẳng$2x + 3y - 6 = 0$không?

1. Thay$x=1; y=2$vào phương trình:$2 \times 1 + 3 \times 2 - 6 = 2 + 6 - 6 = 2$.
2. Kết quả khác 0 nên$A$không thuộc đường thẳng.

Lưu ý: Luôn kiểm tra kết quả thay thế. Chỉ khi giá trị bằng 0 thì điểm nằm trên đường thẳng.

Ví dụ: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm$A(1, 2)$và $B(3, 4)$.

1. Giả sử phương trình có dạng$ax + by + c = 0$.
2. Thay$A(1, 2)$:$a \times 1 + b \times 2 + c = 0$
3. Thay$B(3, 4)$:$a \times 3 + b \times 4 + c = 0$
4. Ta có hệ:$a + 2b + c = 0$;$3a + 4b + c = 0$.
5. Giải hệ: Trừ hai phương trình:$(3a + 4b + c) - (a + 2b + c) = 0 \Rightarrow 2a + 2b = 0 \Rightarrow a + b = 0 \Rightarrow a = -b$.
6. Đặt$b = 1$thì $a = -1$, thay vào:$-1 + 2 \times 1 + c = 0 \rightarrow c = -1$.
7. Vậy phương trình đường thẳng:$-x + y - 1 = 0$hoặc$x - y + 1 = 0$.

Kinh nghiệm: Áp dụng hệ hai biến, có thể chọn giá trị cho 1 ẩn để tìm ra phương trình. Tránh nhầm lẫn thứ tự hệ số $a, b, c$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khi$a = 0$, phương trình có dạng$by + c = 0$→ đường thẳng song song/vuông góc với trục$Ox$.
• Khi$b = 0$, phương trình có dạng$ax + c = 0$→ đường thẳng song song/vuông góc với trục$Oy$.
• Khi$c = 0$, đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
• Nếu$a$hoặc$b$bị lược bỏ, cần xác định chính xác dạng hàm trước khi giải.

Mối liên hệ: Đây là nền móng để bạn học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải bài toán tối ưu, hình học giải tích và nhiều ứng dụng thực tế về sau.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa hàm tuyến tính hai biến với hàm bậc nhất một biến.
• Quên điều kiện$a$và $b$không đồng thời bằng 0.
• Nhầm giữa các hệ số $a, b, c$khi lập phương trình đường thẳng.

Cách phân biệt: Kiểm tra số biến và hệ số, tổng quát hóa bằng dạng$ax + by + c$cho mọi bài liên quan.

• Tính nhầm hệ số khi thay giá trị vào phương trình.
• Sai dấu khi chuyển vế hoặc rút gọn biểu thức.
• Kiểm tra kết quả bằng cách thay ngược lại vào phương trình.

Luôn kiểm tra lại bằng cách thay nghiệm hoặc giá trị vừa tìm được vào phương trình gốc.

6. Luyện tập miễn phí ngay

• Truy cập 40.744+ bài tập Hàm tuyến tính hai biến miễn phí để luyện tập không giới hạn.
• Không cần đăng ký tài khoản, chỉ cần chọn bài và bắt đầu luyện tập ngay lập tức.
• Có thể theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng, chuẩn bị tốt cho kiểm tra.

Bấm nút bên dưới để truy cập ngay kho bài tập luyện tập Hàm tuyến tính hai biến miễn phí!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hàm tuyến tính hai biến có dạng tổng quát:$ax + by + c$
• Nhớ điều kiện$a, b$không đồng thời bằng 0
• Các dạng đặc biệt:$y = mx + n$,$ax + c = 0$,$by + c = 0$
• Công thức kiểm tra điểm thuộc đường thẳng
• Luôn làm ví dụ và kiểm tra lại kết quả

Checklist kiến thức trước khi làm bài:

• Hiểu và nhớ công thức tổng quát.
• Biết xác định các hệ số từ dữ kiện đề bài.
• Phân biệt đúng các trường hợp đặc biệt.

Ôn tập hiệu quả bằng cách luyện nhiều bài tập, thường xuyên nhắc lại từng bước giải và các công thức.