Blog

Hệ bất phương trình tuyến tính – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
11 phút đọc
Chia sẻ:
12 phút đọc

1. Giới thiệu về hệ bất phương trình tuyến tính

Trong chương trình toán học lớp 10, bạn sẽ gặp nhiều khái niệm quan trọng liên quan đến phương trình và bất phương trình. Một trong những chủ đề cốt lõi chính là "hệ bất phương trình tuyến tính". Đây là nền tảng để phát triển tư duy logic, học cách giải quyết các vấn đề liên quan đến ràng buộc và điều kiện, đồng thời có rất nhiều ứng dụng trong thực tế như kinh tế, kỹ thuật và tối ưu hóa.

2. Định nghĩa hệ bất phương trình tuyến tính

Hệ bất phương trình tuyến tính là tập hợp nhiều bất phương trình tuyến tính (thường là hai ẩn) được kết hợp lại với nhau. Hệ được gọi là tuyến tính vì mỗi bất phương trình có bậc nhất đối với các ẩn.

Cụ thể, hệ bất phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng:

\begin{cases} a_1x + b_1y \; \; \diamond_1 \; \; c_1 \\ a_2x + b_2y \; \; \diamond_2 \; \; c_2 \\ \end{cases}

Trong đó:1,2\diamond_1, \diamond_2là các dấu bất đẳng thức như >,<,,,>, <, \geq, \leq, \neq;a1,b1,c1,a2,b2,c2a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2là các hệ số,xx,yylà các ẩn.

3. Cách giải hệ bất phương trình tuyến tính

Để giải một hệ bất phương trình tuyến tính hai ẩn, chúng ta thường sử dụng phương pháp đồ thị, tức là biểu diễn từng bất phương trình thành nửa mặt phẳng trên hệ trục tọa độ, sau đó tìm phần giao nhau (phần thỏa mãn tất cả các bất phương trình).

Ví dụ minh họa

Giải hệ bất phương trình:

\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x - y \geq 0 \end{cases}
  • Bước 1: Vẽ đường thẳngx+y=4x + y = 4xy=0x - y = 0trên mặt phẳng tọa độ.
  • Bước 2: Xác định nửa mặt phẳng thỏa mãn từng bất phương trình:
  • + Vớix+y4x + y \leq 4: lấy vùng phía dưới hoặc trên đườngx+y=4x + y = 4? Thử điểmO(0,0)O(0,0)ta có 0+0=040 + 0 = 0 \leq 4, chọn vùng chứaO(0,0)O(0,0).
  • + Vớixy0x - y \geq 0: tứcxyx \geq y, lấy vùng phía trên đườngxy=0x - y = 0(phía trên phân giác thứ nhất). Ví dụ vớiO(0,0)O(0,0),00=000 - 0 = 0 \geq 0nên lại chọn vùng chứaO(0,0)O(0,0).

Kết luận: Giao của hai vùng trên chính là nghiệm của hệ bất phương trình.

Mỗi nghiệm(x,y)(x, y)nằm trong vùng giao này chính là cặp số thỏa mãn cả hai bất phương trình cùng lúc.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

  • Nếu hai đường thẳng song song và các nửa mặt phẳng không giao nhau, hệ vô nghiệm.
  • Nếu một nửa mặt phẳng chứa trọn nửa mặt phẳng của bất phương trình còn lại, hệ có vô số nghiệm.
  • Nếu giao của các nửa mặt phẳng là một vùng tam giác, tứ giác hữu hạn, vùng đó là tập nghiệm hệ.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hệ bất phương trình tuyến tính có mối liên hệ mật thiết với hệ phương trình tuyến tính, biểu diễn vùng nghiệm trên mặt phẳng tương tự như tìm giao của các miền xác định. Ngoài ra, đây là nền tảng cho kiến thức về lập trình tuyến tính và cực trị hàm số.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Hình minh họa: Miền nghiệm tam giác của hệ bất phương trình x + 2y ≤ 4, x - y ≥ 1 và y ≥ 0 được tô bóng trên mặt phẳng (x, y)
Miền nghiệm tam giác của hệ bất phương trình x + 2y ≤ 4, x - y ≥ 1 và y ≥ 0 được tô bóng trên mặt phẳng (x, y)
Hình minh họa: Minh họa mạng lưới các điểm có tọa độ nguyên (x, y) trong mặt phẳng để hỗ trợ việc tìm nghiệm nguyên cho Bài tập 2
Minh họa mạng lưới các điểm có tọa độ nguyên (x, y) trong mặt phẳng để hỗ trợ việc tìm nghiệm nguyên cho Bài tập 2

Bài tập 1: Giải hệ bất phương trình sau và biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ:

\begin{cases} 2x + y \leq 6 \\ x - y \geq 1 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}
  • Bước 1: Vẽ các đường thẳng2x+y=62x + y = 6,xy=1x - y = 1,x=0x = 0,y=0y = 0.
  • Bước 2: Xác định nửa mặt phẳng bằng cách thử điểmO(0,0)O(0,0)với từng bất phương trình:
  • +2x+y60+0=062x + y \leq 6 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \leq 6=> chọn vùng chứaOO.
  • +xy100=0≱1x - y \geq 1 \Rightarrow 0 - 0 = 0 \not \geq 1=> chọn vùng không chứaOO(bên phải và phía trênxy=1x - y = 1).
  • +x0,y0x \geq 0, y \geq 0chọn góc phần tư thứ nhất.

Miền nghiệm là vùng giao của các nửa mặt phẳng trên hình vẽ — thường là một đa giác kín. Có thể tìm các đỉnh của miền nghiệm bằng cách giải hệ phương trình hoán vị hai trong bốn đường đã cho.

Bài tập 2: Tìm các giá trị nguyên củaxxyythỏa:

\begin{cases} x + 2y \leq 8 \\ x \geq 2 \\ y > 1 \end{cases}

Giải:

  • Dox2x \geq 2,y>1y2y > 1 \Rightarrow y \geq 2(vì yynguyên).
  • Xéty=2x+48x4y = 2 \Rightarrow x + 4 \leq 8 \Rightarrow x \leq 4(x=2,3,4x = 2, 3, 4)
  • Xéty=3x+68x2y = 3 \Rightarrow x + 6 \leq 8 \Rightarrow x \leq 2(x=2x = 2)
  • Vậy các cặp(x,y)(x,y)nguyên thỏa mãn là:(2,2);(3,2);(4,2);(2,3)(2,2); (3,2); (4,2); (2,3).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Không xác định đúng miền nghiệm của từng bất phương trình đơn.
  • Nhầm nửa mặt phẳng khi vẽ đồ thị (không thử điểm kiểm tra).
  • Quên xét điều kiệnx0,y0x \geq 0, y \geq 0nếu đề yêu cầu nghiệm dương.

Cách tránh: Luôn thử một điểm đặc biệt (thường là gốc tọa độ) để kiểm tra vùng chọn; vẽ các đường thẳng một cách chính xác, ghi rõ các miền nghiệm trên hình vẽ.

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

  • Hệ bất phương trình tuyến tính là công cụ quan trọng để mô tả các ràng buộc đồng thời.
  • Giải hệ thường dựa trên biểu diễn hình học và tìm phần giao các miền nghiệm.
  • Luôn đọc và phân tích kỹ từng bất phương trình thành phần.
  • Biết vận dụng linh hoạt để giải các bài toán thực tế, đặc biệt trong tối ưu hóa.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".