Hệ bất phương trình tuyến tính: Khái niệm, định nghĩa, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho lớp 10

1. Giới thiệu về hệ bất phương trình tuyến tính và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, "hệ bất phương trình tuyến tính" là một chủ đề quan trọng, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và giải quyết các vấn đề thực tiễn liên quan đến nhiều biến số. Hiểu và giải được hệ bất phương trình tuyến tính sẽ là nền tảng vững chắc để học các nội dung cao hơn như bất phương trình bậc hai, hệ phương trình, và những ứng dụng trong thực tế, kinh tế và kỹ thuật. Đây cũng là một trong những phần kiến thức cốt lõi mà học sinh cần nắm vững để làm tốt các bài tập trong đề kiểm tra, thi học kỳ hay các kỳ thi quan trọng.

2. Định nghĩa hệ bất phương trình tuyến tính

• Bất phương trình tuyến tính là bất phương trình có dạng:

$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdot s + a_nx_n \mathrel{\triangle} b$

trong đó $a_1, a_2, \ldots, a_n, b$là các hằng số,$x_1, x_2, \ldots, x_n$là các ẩn số, và $\triangle$là một trong các dấu$\{<, >, \leq, \geq \}$.

• Hệ bất phương trình tuyến tính là tập hợp nhiều bất phương trình tuyến tính có cùng các ẩn số, được viết chung dưới dạng:

• Nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính là bộ $(x_1, x_2,..., x_n)$thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ.

3. Các bước giải hệ bất phương trình tuyến tính – Ví dụ minh họa

Sau đây là các bước cơ bản khi giải hệ bất phương trình tuyến tính hai ẩn (cách tiếp cận này cũng áp dụng được cho nhiều biến hơn):

Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau:

Giải thích từng bước:

Nghiệm của hệ là tập hợp tất cả các điểm$(x, y)$thỏa mãn đồng thời$x + y \leq 4$và $x > y$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi giải hệ bất phương trình tuyến tính

Lưu ý:

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Hệ bất phương trình tuyến tính là bước phát triển từ bất phương trình một ẩn, có liên hệ chặt chẽ với hệ phương trình tuyến tính, lý thuyết tập hợp (phép giao các tập nghiệm), và là nền tảng để học về bài toán tuyến tính trong đại số tuyến tính và tối ưu hóa.

- Kỹ năng giải hệ bất phương trình tuyến tính sẽ giúp việc học các bài toán thực tế, tối ưu (bài toán vận tải, quy hoạch tuyến tính) thuận lợi hơn.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau:

y=\frac{2x-6}{3} và $y=1-x$ , tô màu miền nghiệm giao của hai bất đẳng thức y\ge\frac{2x-6}{3} và $y>1-x$ , kèm chú thích giao điểm tại $(1.80, -0.80)$ " title="Hình minh họa: Đồ thị hai đường thẳng y=\frac{2x-6}{3} và $y=1-x$ , tô màu miền nghiệm giao của hai bất đẳng thức y\ge\frac{2x-6}{3} và $y>1-x$ , kèm chú thích giao điểm tại $(1.80, -0.80)$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Lời giải:

- BPT (1):$2x - 3y \leq 6$tương đương$y \geq \frac{2x - 6}{3}$(miền nghiệm là phía trên đường thẳng$y = \frac{2x - 6}{3}$).
- BPT (2):$x + y > 1$tương đương$y > 1 - x$(miền nghiệm là phía trên đường thẳng$y = 1 - x$).
- Miền nghiệm là giao của hai miền trên:$y \geq \frac{2x - 6}{3}$và $y > 1 - x$(vẽ hai đường thẳng, miền cần tìm là vùng nằm trên cả hai đường này).
- Kết luận: Miền nghiệm là tập hợp tất cả các điểm$(x, y)$trên mặt phẳng thỏa mãn đồng thời$y \geq \frac{2x - 6}{3}$và $y > 1 - x$.

Bài tập 2: Xác định các giá trị nguyên của$x$thỏa mãn hệ bất phương trình:

Lời giải:

Vì $x$nguyên, các giá trị $x$là:$0, 1, 2$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Kết luận và những điểm cần nhớ

- Hệ bất phương trình tuyến tính là tập hợp các bất phương trình tuyến tính cùng các ẩn số cần tìm bộ nghiệm thỏa mãn tất cả đồng thời.

- Khi giải hệ bất phương trình, cần lần lượt xác định miền nghiệm của từng bất phương trình rồi tìm phần giao.

- Cần chú ý đến dấu của bất phương trình và điều kiện các ẩn số.

- Nắm vững cách biểu diễn miền nghiệm (trên trục số hoặc mặt phẳng) để giải đúng và chắc chắn.