1. Giới thiệu về khái niệm số gần đúng và tầm quan trọng

Trong thực tế và trong toán học, không phải lúc nào chúng ta cũng biết chính xác giá trị các đại lượng. Nhiều trường hợp, giá trị chỉ có thể đo lường, tính toán hoặc suy ra với độ chính xác giới hạn bởi dụng cụ đo, phương pháp tính hoặc tính chất của đối tượng. Lúc này, khái niệm "số gần đúng" xuất hiện. Đây là một khái niệm rất quan trọng trong chương trình toán lớp 10 cũng như các ứng dụng thực tiễn, giúp chúng ta xử lý các bài toán liên quan đến độ chính xác, sai số, đo lường, và ước lượng.

2. Định nghĩa chính xác của số gần đúng

Số gần đúng là giá trị ước lượng của một đại lượng nào đó, chấp nhận có sự chênh lệch nhỏ so với giá trị thực (hay còn gọi là số đúng), do ảnh hưởng của việc đo lường hoặc làm tròn số.

Cụ thể:

• Số gần đúng: Giá trị đã làm tròn hoặc đo được với độ chính xác xác định.
• Số đúng: Giá trị chính xác của đại lượng (thường không xác định được trong thực nghiệm, chỉ mang tính lý thuyết).
• Sai số tuyệt đối: Độ lệch tuyệt đối giữa số gần đúng và số đúng:$\Delta = |A - a|$, trong đó $A$là số đúng,$a$là số gần đúng.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử bạn dùng thước đo để đo chiều dài một chiếc bàn và kết quả đo được là $1,5$mét. Thực tế, chiều dài chính xác của chiếc bàn có thể là $1,497$mét, nhưng do hạn chế dụng cụ đo bạn chỉ ghi nhận$1,5$mét. Khi đó:

• Số đúng:$1,497$(giả sử đã biết)

• Số gần đúng:$1,5$

• Sai số tuyệt đối:$|1,5 - 1,497| = 0,003$mét

Ngoài ra còn có sai số tương đối:$\delta = \frac{|A - a|}{|A|} = \frac{0,003}{1,497} \approx 0,002$(hay$0,2\%$).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Khi làm tròn số, bạn cần chú ý đến quy tắc làm tròn: số bị bỏ lớn hơn hoặc bằng$5$thì làm tròn lên, nhỏ hơn$5$thì giữ nguyên.
• Số gần đúng có thể ở dạng thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, thường lấy đến một số chữ số nhất định tùy theo yêu cầu của đề bài hoặc thực tế đo lường.
• Độ chính xác của số gần đúng được xác định bởi số chữ số đáng kể (ví dụ:$3,142$chính xác đến$3$chữ số thập phân).
• Không nên tự ý tăng số chữ số thập phân của số gần đúng hơn so với thực tế có thể xác định.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm số gần đúng gắn liền với các khái niệm liên quan như: sai số, phép đo, các đại lượng vật lý (vật lý và hóa học), làm tròn số trong toán học, tính toán gần đúng trong phương trình, dãy số và giới hạn (trong giải tích sau này). Trong thống kê và xác suất, giá trị kỳ vọng, trung bình,… cũng thường xuyên phải sử dụng số gần đúng.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Một vật được đo khối lượng là $75,8$gam. Giá trị thực của nó là $75,82$gam. Tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối.

Giải:

Sai số tuyệt đối:$\Delta = |75,82 - 75,8| = 0,02$gam

Sai số tương đối:$\delta = \frac{0,02}{75,82} \approx 0,0002639$(hay$0,02639\%$)

Bài 2: Làm tròn số $3,14159$ đến 3 chữ số thập phân. Tính sai số tuyệt đối tối đa có thể xảy ra.

Giải:

Số sau khi làm tròn:$3,142$

Sai số tuyệt đối tối đa: Với 3 chữ số thập phân, sai số tuyệt đối tối đa là một nửa đơn vị của hàng nhỏ nhất, tức là $0,0005$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Làm tròn sai quy tắc (không đúng quy định)
• Không ghi rõ số đơn vị đo lường của số gần đúng
• Tăng số chữ số thập phân vượt quá độ chính xác của phép đo ban đầu
• Không tính sai số tuyệt đối/tương đối hoặc quên ký hiệu giá trị tuyệt đối khi cần thiết

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Số gần đúng là giá trị ước lượng của một đại lượng, thường xuất hiện khi đo lường, làm tròn số hoặc tính toán.
• Sai số tuyệt đối là độ chênh lệch giữa số gần đúng và giá trị đúng. Sai số tương đối là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị đúng.
• Cần ghi nhớ quy tắc làm tròn và xác định đúng số chữ số đáng kể khi viết số gần đúng.
• Sử dụng số gần đúng đúng ngữ cảnh để đảm bảo kết quả tính toán có ý nghĩa thực tế.