Khái niệm tích của một số với một vectơ: Lý thuyết, công thức, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, khái niệm "tích của một số với một vectơ" là một trong những phần đầu tiên về vectơ. Việc hiểu rõ ý nghĩa, tính chất và cách áp dụng tích này là bước nền tảng để học tốt hình học và đại số vectơ về sau. Đây là khái niệm thiết yếu giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tỷ lệ, chuyển động, lực, mô hình hóa các vấn đề thực tiễn trong vật lý, kỹ thuật hoặc tin học.

Hiểu rõ tích của một số với một vectơ giúp học sinh dễ dàng tính toán, mô tả các thao tác kéo dài, co ngắn hoặc đổi chiều vectơ trong mặt phẳng hay không gian. Nó còn hỗ trợ giải các bài toán phân tích lực, xác định vị trí, tính khoảng cách, hoặc xây dựng các thuật toán trong lập trình. Bạn còn có cơ hội rèn luyện miễn phí với hơn 42.226+ bài tập đa dạng mức độ, giúp bạn thành thạo chuyên đề này một cách dễ dàng!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Cho số thực$k$và vectơ $\vec{a}$. Tích của số $k$với vectơ $\vec{a}$là một vectơ ký hiệu là $k\vec{a}$, có tính chất:

• + Nếu$k = 0$hoặc$\vec{a} = \vec{0}$thì $k\vec{a} = \vec{0}$(vectơ không).
• + Nếu$k > 0$,$k\vec{a}$cùng hướng với$\vec{a}$, độ dài$|k| \cdot |\vec{a}|$.
• + Nếu$k < 0$,$k\vec{a}$ngược hướng với$\vec{a}$, độ dài$|k| \cdot |\vec{a}|$.

Tính chất chính:

• -$k\vec{a}$là một vectơ cùng phương với$\vec{a}$(hoặc là vectơ không).
• -$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$
• -$k\vec{a} = \vec{a} + \vec{a} +... + \vec{a}$($k$lần, với$k$nguyên dương)

2.2 Công thức và quy tắc

• - Nếu$\vec{a} = (a_1; a_2)$thì $k\vec{a} = (k a_1; k a_2)$.
• - Nếu$\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$thì $k\vec{a} = (k a_1; k a_2; k a_3)$.

Cách ghi nhớ: Nhân từng thành phần của vectơ với số $k$.

Điều kiện áp dụng: Dùng với mọi số thực$k$, vectơ $\vec{a}$bất kỳ.

Các biến thể: Có thể gặp trong trường hợp$k < 0$,$k = 0$,$k$là phân số, số thập phân.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho$\vec{a} = (3; -2)$, tính$2\vec{a}$.

Lời giải từng bước:

1. Bước 1: Xác định thành phần của$\vec{a}$:$a_1 = 3$,$a_2 = -2$.
2. Bước 2: Áp dụng công thức:$2\vec{a} = (2 \times 3; 2 \times (-2)) = (6; -4)$.

Kết quả:$2\vec{a} = (6; -4)$.

Lưu ý: Nếu$k < 0$, kết quả cùng phương nhưng ngược hướng với$\vec{a}$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho$\vec{b} = (-1; 4; 2)$, hãy tìm$-3\vec{b}$.

Lời giải:

1. Thành phần của$\vec{b}$lần lượt là $-1$,$4$,$2$.
2. Nhân từng thành phần với$-3$:$-3 \vec{b} = (-3 \times (-1); -3 \times 4; -3 \times 2) = (3; -12; -6)$.

Vậy$-3\vec{b} = (3; -12; -6)$(ngược hướng, lớn gấp 3 lần vectơ ban đầu).

Kỹ thuật giải nhanh: Khi nhân với số âm, kết quả chỉ cần đổi dấu từng thành phần gốc.

4. Các trường hợp đặc biệt

• - Nếu$k = 0$thì $k\vec{a} = \vec{0}$.
• - Nếu$\vec{a} = \vec{0}$thì $k\vec{a} = \vec{0}$với mọi$k$.
• - Quan hệ cùng phương:$\vec{b}$cùng phương với$\vec{a}$khi tồn tại$k$sao cho$\vec{b} = k\vec{a}$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• - Nhầm lẫn giữa tích vô hướng (số nhân số) và tích một số với vectơ.
• - Không phân biệt đổi hướng khi nhân với số âm.
• - Để ghi nhớ: Vectơ cùng phương khi tồn tại tỉ lệ $k$, độ dài biến đổi theo$|k|$.

5.2 Lỗi về tính toán

• - Quên đổi dấu một số thành phần với$k < 0$.
• - Nhân thiếu/mất thành phần vectơ.
• - Để kiểm tra: Sau khi tính, so sánh hướng và kiểm tra độ dài mới bằng$|k|$lần độ dài ban đầu.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập Khái niệm tích của một số với một vectơ miễn phí! Không cần đăng ký, chỉ cần bắt đầu luyện tập ngay lập tức ngay trên nền tảng. Theo dõi tiến độ, kiểm tra kết quả và cải thiện kỹ năng liên tục.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• - Tích$k\vec{a}$: cũng là một vectơ cùng phương với$\vec{a}$và độ dài gấp$|k|$lần độ dài của$\vec{a}$.
• - Khi$k = 0$hoặc$\vec{a} = \vec{0}$, kết quả là vectơ không.
• - Khi nhân với số âm: đổi chiều, cùng phương, nhưng ngược hướng.
• - Luôn nhân từng thành phần của vectơ với số $k$.

Checklist kiến thức trước khi làm bài: Định nghĩa, tính chất, phương pháp, lỗi thường gặp, kỹ năng kiểm tra kết quả.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Lý thuyết – Ví dụ – Thực hành bài tập miễn phí – Kiểm tra kết quả – Ôn lại lỗi thường gặp.