1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Khái niệm tích của một số với một vectơ” là một nội dung cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, nằm trong phần Hình học – chương V: VECTƠ. Việc nắm vững ý nghĩa, định nghĩa và các quy tắc liên quan sẽ giúp em tự tin giải các bài toán vectơ, hỗ trợ học tốt các dạng bài tiếp theo trong chương trình. Đặc biệt, hiểu rõ kiến thức này giúp em áp dụng hiệu quả vào thực tế như biểu diễn lực, tọa độ không gian, các bài toán vật lý và kỹ thuật. Ngoài ra, em có thể luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập bằng cách truy cập cuối bài viết để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Cho số thực$k$và vectơ $\vec{a}$. Tích$k\vec{a}$là một vectơ có:
- Điểm đầu trùng với điểm đầu của$\vec{a}$;
- Độ dài là $|k|$lần độ dài của$\vec{a}$;
- Cùng hướng với$\vec{a}$nếu$k>0$, ngược hướng với$\vec{a}$nếu$k<0$;
- Nếu$k=0$hoặc$\vec{a}=\vec{0}$thì $k\vec{a}=\vec{0}$(vectơ không).

• Các tính chất quan trọng:
-$(k_1 + k_2)\vec{a} = k_1\vec{a} + k_2\vec{a}$
-$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
-$k_1(k_2\vec{a}) = (k_1k_2)\vec{a}$

• Điều kiện áp dụng: Chỉ có thể nhân số thực với vectơ, không áp dụng cho vectơ với vectơ; khi$k=0$, tích là vectơ không.

2.2 Công thức và quy tắc

• Công thức cần nhớ:
-$k\vec{a} = (k a_x; k a_y)$, với$\vec{a} = (a_x; a_y)$trong hệ tọa độ
-$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

• Cách ghi nhớ: Nhớ rõ rằng tích một số với một vectơ chỉ thay đổi độ lớn, hướng phụ thuộc vào dấu của số đó.

• Chú ý:
- Vectơ đảo ngược hướng:$(-1)\vec{a}$ngược hướng$\vec{a}$;
- Khi$k=1$,$k\vec{a} = \vec{a}$;$k=0$\rightarrow$k\vec{a}=\vec{0}$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho$\vec{a} = (2; 3)$. Tính$3\vec{a}$và $-2\vec{a}$.

Giải:
-$3\vec{a} = (3 \cdot 2; 3 \cdot 3) = (6; 9)$

-$-2\vec{a} = (-2 \cdot 2; -2 \cdot 3) = (-4; -6)$

Nhận xét:$3\vec{a}$cùng hướng với$\vec{a}$và dài gấp 3 lần.$-2\vec{a}$ngược hướng và dài gấp 2 lần$\vec{a}$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho$\vec{b} = (4; -1)$,$k=-0.5$. Tìm toạ độ và độ dài$k\vec{b}$.

Giải:
- $k\vec{b} = (-0.5 \cdot 4; -0.5 \cdot (-1)) = (-2; 0.5)$
- Độ dài: $|k\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{b}|$

Tìm $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$
$|k\vec{b}| = 0.5 \cdot \sqrt{17}$

Nhận xét: Kết quả ngắn hơn$\vec{b}$và ngược hướng$\vec{b}$.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$k=0$hoặc$\vec{a}=\vec{0}$thì $k\vec{a}=\vec{0}$(vectơ không).
•$|k|=1$, vectơ giữ nguyên hoặc đảo hướng.
• Nếu$a$là vectơ đơn vị,$k a$có độ dài$|k|$, hướng tuỳ $k$dương hay âm.
• Mối liên hệ: Phép nhân này là nền tảng cho các phép toán vectơ phức tạp hơn như phân tích, tổng hợp lực trong Vật lý.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm tích hai vectơ với tích số-vectơ.
• Hiểu sai ý nghĩa đảo hướng khi$k<0$.
• Phân biệt: Nhân số với vectơ chỉ thay đổi độ lớn, không làm thay đổi tính chất cơ bản của vectơ trừ trường hợp$k=0$cho ra vectơ không.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính toán sai toạ độ khi nhân toạ độ từng thành phần.
• Quên nhân cả 2 thành phần.
• Bỏ qua dấu âm của$k$dẫn đến sai hướng.
• Kiểm tra kết quả bằng cách vẽ hình hoặc thay số vào công thức tổng quát.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho bài tập Khái niệm tích của một số với một vectơ miễn phí với hơn 40.504+ bài tập đa dạng. Không cần đăng ký, em có thể bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ, nâng cao kỹ năng một cách chủ động, thuận lợi cho việc ôn thi và làm bài kiểm tra.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nắm vững định nghĩa: Tích của số thực và vectơ là một vectơ có độ lớn$|k|$lần, cùng/ ngược hướng tùy vào dấu của$k$.
• Áp dụng công thức chính xác cho từng dạng bài tập.
• Phân biệt tích số-vectơ với các phép toán khác.
• Kiểm tra tính toán bằng cách thay số, vẽ hình hoặc so sánh hướng độ lớn.

Checklist kiến thức trước khi làm bài:
[ ] Hiểu bản chất phép nhân số với vectơ
[ ] Thuộc các tính chất cơ bản
[ ] Biết chuyển đổi công thức tọa độ
[ ] Nhận biết các trường hợp đặc biệt

Hãy lên kế hoạch học luyện tập mỗi ngày với các bài tập miễn phí để củng cố kiến thức và sẵn sàng cho mọi kì thi quan trọng nhé!