Khái niệm tích của một số với một vectơ – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, việc học về vectơ mở ra một cánh cửa quan trọng để tiếp cận các kiến thức mới về Hình học và vận dụng vào thực tiễn. Một phép toán cơ bản và cực kỳ quan trọng với vectơ là phép nhân vectơ với một số (hay còn gọi là "tích của một số với một vectơ"). Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh hiểu sâu hơn về các phép biến đổi hình học, giải bài toán dựng hình, cũng như ứng dụng trong vật lý (lực, vận tốc...).

2. Định nghĩa tích của một số với một vectơ

Cho số thực$k$và vectơ $\overrightarrow{a}$, tích của$k$với$\overrightarrow{a}$, ký hiệu là $k\overrightarrow{a}$, là một vectơ thỏa mãn:

Nếu$k = 0$hoặc$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$thì $k\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$(vectơ không).

Nếu$k \neq 0$thì $k\overrightarrow{a}$có:

+ Giá (đường thẳng mang hướng của vectơ) trùng với giá của$\overrightarrow{a}$.
+ Độ lớn (hay còn gọi là mô-đun hoặc độ dài) bằng$|k|$lần độ lớn của$\overrightarrow{a}$, tức là:
$|k\overrightarrow{a}| = |k| \cdot |\overrightarrow{a}|$
+ Hướng:
- Nếu$k > 0$, hướng của$k\overrightarrow{a}$cùng hướng với$\overrightarrow{a}$.
- Nếu$k < 0$, hướng của$k\overrightarrow{a}$ngược hướng với$\overrightarrow{a}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử $\overrightarrow{a}$là một vectơ có điểm đầu$A$và điểm cuối$B$. Xét các trường hợp sau:

$k = 2$(số dương):$2\overrightarrow{a}$là vectơ cùng hướng với$\overrightarrow{a}$, độ dài gấp đôi$\overrightarrow{a}$. Nếu$\overrightarrow{a}$bắt đầu từ $A$ đến$B$, thì $2\overrightarrow{a}$có thể được biểu diễn từ $A$tới điểm$C$sao cho$\overrightarrow{AC}$cùng hướng với$\overrightarrow{AB}$và $|AC| = 2|AB|$.

$k = -1$(số âm):$-\overrightarrow{a}$là vectơ cùng giá, độ dài bằng$\overrightarrow{a}$, nhưng ngược hướng. Nếu$\overrightarrow{a}$từ $A$tới$B$, thì $-\overrightarrow{a}$từ $A$sang phía ngược lại, độ dài =$|AB|$.

$k = 0$:$0\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$là vectơ không, không có hướng, không có độ dài.

Ví dụ minh họa:

Cho$\overrightarrow{AB}$,$|AB| = 3$cm.

-$2\overrightarrow{AB}$: Dùng compa đo$3 \times 2 = 6$cm cùng hướng$AB$.
-$-\overrightarrow{AB}$: Dùng compa đo$3$cm, vẽ ngược hướng$AB$.
-$0,5\overrightarrow{AB}$: Đo$1,5$cm cùng hướng$AB$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Nếu$k = 0$, bất kỳ vectơ nào nhân với$0$ đều bằng vectơ không.

Nếu$k < 0$, hướng bị đổi sang ngược lại, nhiều bạn dễ nhầm hướng.

Nếu$k > 1$, mô-đun vectơ lớn lên.

Nếu$0 < k < 1$, mô-đun vectơ nhỏ lại.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- "Tích của một số với một vectơ" cho phép biến đổi toạ độ, tạo ra các phép co dãn, phép tịnh tiến trong hình học.
- Tích này là một phần của không gian vectơ, là nền tảng cho đại số vectơ và hình học giải tích.
- Kết hợp với phép cộng vectơ, đây là nền móng cho khái niệm tổ hợp tuyến tính, trực hệ trong các bài toán giải phương trình vectơ.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\overrightarrow{a} = (2, 3)$. Tính$3\overrightarrow{a}$và $-2\overrightarrow{a}$.

Lời giải:

-$3\overrightarrow{a} = 3 \times (2, 3) = (6, 9)$
-$-2\overrightarrow{a} = -2 \times (2, 3) = (-4, -6)$

Bài tập 2: Cho điểm$A(1;2)$,$B(4;6)$. Tìm tọa độ điểm$C$sao cho$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

-$\overrightarrow{AB} = (4-1, 6-2) = (3,4)$
-$2\overrightarrow{AB} = (6,8)$
-$\overrightarrow{AC} = (6,8) \Rightarrow C(1+6, 2+8) = (7,10)$

Bài tập 3: Cho$\overrightarrow{u} = (5, -2)$. Hãy tìm vectơ đơn vị cùng hướng với$\overrightarrow{u}$.

Lời giải:

Độ dài $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$

Vectơ đơn vị cùng hướng: $\overrightarrow{v} = \frac{1}{|\overrightarrow{u}|} \cdot \overrightarrow{u} = \left(\frac{5}{\sqrt{29}}, \frac{-2}{\sqrt{29}}\right)$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

Nhầm hướng khi hệ số là số âm. Luôn kiểm tra dấu của số nhân.

Bị nhầm về độ lớn: sai khi nhân mô-đun.

Quên rằng$0$nhân bất kỳ vectơ nào đều bằng vectơ không.

Khi tính theo toạ độ, nhớ nhân từng thành phần.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Tích của một số $k$với một vectơ $\overrightarrow{a}$là phép toán làm thay đổi độ lớn và có thể đổi hướng vectơ (nếu$k$ âm).

Hướng của$k\overrightarrow{a}$cùng$\overrightarrow{a}$nếu$k > 0$, ngược nếu$k < 0$.

Độ lớn của$k\overrightarrow{a}$là $|k|$lần độ lớn của$\overrightarrow{a}$.

Nếu nhân với$0$hoặc vectơ không thì kết quả là vectơ không.

Phải nhân từng thành phần nếu làm việc với tọa độ.

Nắm chắc kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều dạng bài tập vectơ và hiểu sâu hơn về các phép biến đổi hình học và ứng dụng trong các môn học khác.

Từ khóa chính: tích của một số với một vectơ, giải thích tích số với vectơ, hướng dẫn học sinh lớp 10 tích số với vectơ.

Hy vọng qua bài viết này, các bạn học sinh lớp 10 đã hiểu rõ, dễ nhớ và biết vận dụng thành thạo khái niệm tích của một số với một vectơ!

Chúc các bạn học tốt!