Blog

Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
10 phút đọc
Chia sẻ:
11 phút đọc

1. Giới thiệu chung về bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong chương trình Toán lớp 10, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn – một nội dung quan trọng không chỉ giúp mở rộng kiến thức về phương trình, bất phương trình mà còn đặt nền móng cho việc học hình học giải tích sau này. Việc nhận biết và hiểu rõ về bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bước đầu tiên để giải và vận dụng chúng vào thực tiễn cũng như các bài toán phức tạp hơn.

2. Khái niệm và định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng tổng quát:

ax + by + c \; \diamond \; 0

Trong đó:

a,b,ca, b, clà các hằng số thực;aabbkhông đồng thời bằng00.

xxyylà hai ẩn số.

\diamondlà một trong các dấu bất đẳng thức:>,<,,>, <, \geq, \leq.

Chẳng hạn:2x3y+5>02x - 3y + 5 > 0,x+y2x + y \leq 2là các ví dụ về bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

3. Cách nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Một bất phương trình được gọi là bậc nhất hai ẩn nếu thỏa mãn cả ba điều kiện sau:

1. Chỉ xuất hiện hai ẩn số, thường ký hiệu là xxyy.

2. Cả hai ẩn đều ở bậc nhất (tức là số mũ lớn nhất của xxhoặcyy11, không có x2,y2,xy,xx^2, y^2, xy, \sqrt{x},...).

3. Có một trong bốn dấu bất đẳng thức:>,<,,>, <, \geq, \leq.

Ví dụ:

3x4y<73x - 4y < 7— đúng chuẩn bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

2x+y212x + y^2 \geq 1— Không phải, vì y2y^2là bậc hai.

5x205x - 2 \leq 0— Không phải, chỉ có một ẩn.

4. Ví dụ minh họa từng bước

Ví dụ 1: Kiểm tra bất phương trình4x+2y104x + 2y - 1 \geq 0có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?

Bước 1: Xác định số ẩn – có xxyy, đủ hai ẩn.

Bước 2: Kiểm tra bậc của hai ẩn –xxyy đều bậc nhất (không có mũ lớn hơn11hay dạng tích).

Bước 3: Có dấu bất đẳng thức\geq, đúng yêu cầu.

Bước 4: Kết luận:4x+2y104x + 2y - 1 \geq 0là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 2: Kiểm tra bất phương trìnhx2+3y<0x^2 + 3y < 0

x2x^2, ẩnxx ở bậc hai nên đây KHÔNG phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi nhận biết

- Nếua=0a = 0hoặcb=0b = 0thì bất phương trình chỉ còn một ẩn, không phải là bất phương trình hai ẩn (ví dụ:2x+0y>12x + 0 \cdot y > 1chỉ còn ẩnxx).

- Nếu bất phương trình chứa các ẩn dưới căn, mũ khác11, hoặc là tíchxy,...xy,...thì KHÔNG là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Cẩn trọng với các phép toán rút gọn, chuyển vế có thể làm xuất hiện thêm/sai ẩn hoặc bậc ẩn.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn liên hệ mật thiết với phương trình bậc nhất hai ẩn (dạng:ax+by+c=0ax + by + c = 0), với miền nghiệm là tập hợp các điểm thuộc nửa mặt phẳng.

- Khi giải, biểu diễn nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường ứng với một miền trên mặt phẳng tọa độ OxyOxy. Đường thẳngax+by+c=0ax + by + c = 0chia mặt phẳng thành hai nửa ứng với hai miền nghiệm khác nhau.

7. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

1.  2x3y+501.\; 2x - 3y + 5 \geq 0

2.  x2+4y<12.\; x^2 + 4y < 1

3.  x+y23.\; -x + y \leq 2

4.  5x+7>34.\; 5x + 7 > 3

Lời giải:

Hình minh họa: Minh họa đồ thị đường thẳng 4x + 2y - 1 = 0 với giao điểm (0.25, 0) và (0, 0.50), đồng thời tô đậm vùng nghiệm thỏa mãn bất phương trình 4x + 2y - 1 ≥ 0 trong mặt phẳng (x, y).
Minh họa đồ thị đường thẳng 4x + 2y - 1 = 0 với giao điểm (0.25, 0) và (0, 0.50), đồng thời tô đậm vùng nghiệm thỏa mãn bất phương trình 4x + 2y - 1 ≥ 0 trong mặt phẳng (x, y).

1.  2x3y+501. \; 2x - 3y + 5 \geq 0— Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (đủ hai ẩnxx,yy, đều bậc nhất, dấu\geq).

2.  x2+4y<12. \; x^2 + 4y < 1— Không phải (vì xxcó bậc hai).

3.  x+y23. \; -x + y \leq 2— Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

4.  5x+7>34. \; 5x + 7 > 3— Không phải (chỉ ẩnxx).

Bài 2: Một số bài tập tự luyện

a)3x+2y63x + 2y \leq 6

b)x2+y0x^2 + y \geq 0

c)4x7y>14x - 7y > -1

Lời giải:

a) Đúng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Không phải, vì x2x^2là bậc hai.

c) Đúng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

8. Những lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm bất phương trình bậc hai (hoặc chứa tích ẩn, căn bậc hai...) thành bậc nhất.

- Không kiểm tra đầy đủ số ẩn và bậc của mỗi ẩn.

- Bỏ sót dấu bất đẳng thức, nhầm dấu==là bất phương trình.

- Nhầm bất phương trình một ẩn thành hai ẩn nếu đọc nhầm hoặc rút gọn sai!

Để tránh nhầm lẫn, luôn rà soát: Số ẩn (phải có hai ẩn); Kiểm tra bậc cao nhất của mỗi ẩn (phải đúng là bậc nhất – mũ 11); xem có đúng là bất phương trình không.

9. Tóm tắt và những điểm cần nhớ

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quátax+by+c    0ax + by + c \; \diamond \; 0vớiaa,bbkhông cùng bằng00.

- Xuất hiện đúng hai ẩn, mỗi ẩn bậc nhất, chứa dấu bất đẳng thức.

- Không có ẩn mũ lớn hơn 1, không sinh ra tíchxyxy, không có căn của biến.

- Khả năng ứng dụng để xác lập miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ là nền tảng cho học phần hình học giải tích.

- Cẩn thận các trường hợp dễ nhầm lẫn: đúng số ẩn, bậc của từng ẩn, và phép toán liên quan.

Qua bài viết này, học sinh lớp 10 sẽ nắm vững khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn, cách nhận biết, các ví dụ minh hoạ cũng như các lưu ý khi vận dụng, giúp làm chủ chủ đề quan trọng trong toán học.

Chúc các bạn học tốt!

Tác giả: ToanhocAI.vn

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".