1. Giới thiệu và tầm quan trọng của Nhận biết và biểu diễn vectơ

Nhận biết và biểu diễn vectơ là kiến thức đầu tiên trong chương V - Vectơ của toán lớp 10. Hiểu rõ khái niệm này giúp bạn nắm chắc các bài toán về vectơ, là cơ sở để học tốt hình học giải tích và các chương trình toán nâng cao sau này. Vectơ xuất hiện nhiều trong vật lý, kỹ thuật, lập trình đồ hoạ, robot học và cả trong cuộc sống hằng ngày như chỉ phương hướng, di chuyển, vận tốc,... Luyện tập kỹ năng nhận biết và biểu diễn vectơ sẽ giúp bạn làm chủ hơn 40.744+ bài tập miễn phí cũng như ứng dụng vào thực tế hiệu quả hơn.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản về nhận biết và biểu diễn vectơ

• Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, ký hiệu$\overrightarrow{AB}$.
• Hai yếu tố cơ bản: phương & chiều và độ dài.
• Vectơ có độ lớn là $|\overrightarrow{AB}| = AB$(độ dài đoạn thẳng AB).
• Vectơ bằng nhau khi cùng phương, cùng chiều, cùng độ dài:$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow AB=CD$, cùng phương, cùng chiều.
• Vectơ - không:$\overrightarrow{AA}$(điểm đầu = điểm cuối), ký hiệu$\vec{0}$, độ dài bằng 0.

Tính chất cơ bản: Vectơ xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, có thể trượt theo phương của nó mà không làm thay đổi.

2.2 Công thức và quy tắc cần ghi nhớ

• Biểu diễn vectơ từ hai điểm:$\overrightarrow{AB}$có điểm đầu là $A$và điểm cuối là $B$.
• Biểu diễn toạ độ: Nếu$A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$thì $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
• Công thức tính độ dài: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
• Điều kiện vectơ bằng nhau:$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}$cùng phương, cùng chiều, cùng độ dài với$\overrightarrow{CD}$.

Mẹo ghi nhớ: Luôn phải xác định đúng điểm đầu và điểm cuối. Khi gặp toạ độ, tính$B-A$chứ không phải$A-B$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho$A(1,2)$và $B(4,6)$. Hãy biểu diễn và tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Giải: Ta có $\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A, y_B-y_A) = (4-1, 6-2) = (3,4)$. Độ dài $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Lưu ý: Phải lấy toạ độ B trừ A chứ không phải ngược lại.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho$C(-2,3)$,$D(1,7)$. Chứng minh$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$với$A(1,2)$,$B(4,6)$ ở ví dụ trên.

Giải:$\overrightarrow{CD} = (1 - (-2), 7-3) = (3,4)$. Ta thấy$\overrightarrow{CD} = (3,4) = \overrightarrow{AB}$. Kết luận hai vectơ này bằng nhau.

Kỹ thuật giải nhanh: So sánh trực tiếp dạng toạ độ hai vectơ.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Vectơ-không$\vec{0}$: Xuất hiện khi điểm đầu trùng điểm cuối.
• Hai vectơ cùng phương: nếu$\overrightarrow{u} = k\overrightarrow{v},\k <br> \neq 0$.
• Trường hợp điểm trung điểm:$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$nếu$M$là trung điểm của$AB$.

Liên hệ: Kiến thức này liên kết chặt chẽ với vị trí tương đối điểm, đoạn thẳng, hình học tọa độ sau này.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm điểm đầu và điểm cuối khi biểu diễn.
• Hiểu sai vectơ bằng nhau là có cùng độ dài, bỏ qua phương và chiều.
• Lẫn lộn giữa vectơ và đoạn thẳng không có hướng.

Cách tránh: Luôn ký hiệu đầy đủ $\overrightarrow{AB}$, nhớ chỉ có chiều rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính toạ độ vectơ ngược chiều (trừ nhầm điểm đầu và cuối).
• Áp dụng sai công thức độ dài.

Phương pháp kiểm tra: Giải lại bước tính bằng cách vẽ phác sơ đồ hình để kiểm chứng kết quả.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể luyện tập 40.744+ bài tập Nhận biết và biểu diễn vectơ miễn phí ngay tại đây. Không cần đăng ký, chỉ cần truy cập, chọn chủ đề và bắt đầu luyện tập, hệ thống sẽ theo dõi tiến độ giúp bạn cải thiện kỹ năng hiệu quả!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Vectơ là đoạn thẳng có hướng, ký hiệu$\overrightarrow{AB}$.
• Độ dài: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
• Vectơ bằng nhau: cùng phương, cùng chiều, cùng độ dài.
• Không nhầm điểm đầu/điểm cuối khi tính toạ độ.
• Luyện tập thường xuyên để hiểu chắc kiến thức.

Checklist trước khi làm bài: Định nghĩa và ký hiệu vectơ – Công thức biểu diễn và độ dài – Nhận biết vectơ bằng nhau – Phân biệt các trường hợp vectơ đặc biệt.

Kế hoạch ôn tập: Ôn lại lý thuyết – Luyện thật nhiều bài tập thực hành – Hỏi ngay khi vướng mắc để không bỏ lỡ kiến thức trọng tâm.