1. Giới thiệu: Vì sao phải ôn kỹ Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ?

Chủ đề “Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ” của lớp 10 thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi giữa kỳ, đề thi học kỳ cũng như các kỳ thi vào lớp 10, các kỳ thi học sinh giỏi. Đây là nền tảng để làm tốt các bài toán liên quan đến hình học giải tích sau này, đặc biệt là khi lên lớp 11 - 12 với ứng dụng trong các bài toán quỹ tích, tiếp tuyến, hình học không gian. Vì vậy, việc ôn thi Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ lớp 10 hiệu quả sẽ giúp học sinh làm chủ kiến thức, tự tin đạt điểm cao trong mọi kỳ thi.

2. Tổng hợp kiến thức trọng tâm cần nắm vững

• Cách xác định phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
• Dạng chuẩn và dạng tổng quát của phương trình đường tròn.
• Cách xác định tâm và bán kính đường tròn từ phương trình.
• Điều kiện để một điểm thuộc/không thuộc/thuộc tiếp tuyến với đường tròn.
• Vị trí tương đối của hai đường tròn; đường thẳng và đường tròn.
• Xác định phương trình tiếp tuyến và các dạng bài quỹ tích, giao điểm, liên hệ tổng quát.

3. Các công thức quan trọng và điều kiện áp dụng

• Dạng chuẩn của phương trình đường tròn tâm$I(a, b)$bán kính$R > 0$:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

• Dạng tổng quát:
$x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$
Với a, b, c là các hằng số, điều kiện để phương trình này là phương trình đường tròn:
$a^2 + b^2 - c > 0$
(Tâm: $I(-a, -b)$; bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$)

• Điều kiện một điểm$M(x_0; y_0)$thuộc đường tròn:
$(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = R^2$

• Khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0)$tới tâm$I(a; b)$:
$IM = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2}$

• Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn:

Cho đường thẳng $d: Ax + By + C = 0$và đường tròn$(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
- $d$cắt$(C)$khi$d(I, d) < R$
- $d$tiếp xúc$(C)$khi$d(I, d) = R$
- $d$ ở ngoài$(C)$khi$d(I, d) > R$
Với $d(I, d)$là khoảng cách từ tâm$I$tới đường thẳng$d$:
$d(I, d) = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

• Phương trình tiếp tuyến tại điểm$M(x_1; y_1)$thuộc$(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$:
$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = R^2$

• Vị trí tương đối hai đường tròn $(C_1): (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = R_1^2$;
$(C_2): (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = R_2^2$:
Khoảng cách tâm $d = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$
- Cắt nhau: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$
- Tiếp xúc ngoài: $d = R_1 + R_2$
- Tiếp xúc trong: $d = |R_1 - R_2|$
- Ngoài nhau: $d > R_1 + R_2$
- Chứa nhau: $d < |R_1 - R_2|$

4. Phân loại các dạng bài tập thường gặp trong đề thi

• Xác định phương trình đường tròn qua 1, 2, 3 điểm cho trước.
• Chứng minh một điểm thuộc/không thuộc đường tròn.
• Tìm tâm, bán kính khi biết phương trình hoặc ngược lại.
• Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm, tại vị trí xác định.
• Tìm giao điểm giữa đường thẳng và đường tròn/giữa hai đường tròn.
• Phân tích vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn/hai đường tròn.
• Các bài toán quỹ tích điểm thỏa mãn điều kiện liên quan đến đường tròn.

5. Chiến lược làm bài hiệu quả cho từng dạng

+ Đối với bài xác định phương trình đường tròn:

• Nếu qua 3 điểm không thẳng hàng: gọi phương trình tổng quát với 3 ẩn, thay tọa độ vào tìm ẩn.
• Nếu biết tâm, biết bán kính: dùng dạng chuẩn. Nếu biết vị trí tâm liên quan, đưa về dạng tham số.

+ Chứng minh điểm thuộc đường tròn:

• Thay tọa độ vào phương trình kiểm tra đúng/sai.

+ Viết phương trình tiếp tuyến:

• Kiểm tra điều kiện tiếp xúc, xác định toạ độ tiếp điểm, sử dụng công thức tiếp tuyến tại điểm hoặc tiếp tuyến khi biết tâm, bán kính và hệ số góc (nếu cần)

+ Tìm giao điểm, vị trí tương đối:

• Giải hệ phương trình kết hợp điều kiện về số nghiệm/ khoảng cách để phân loại vị trí.

+ Quỹ tích:

• Phân tích điều kiện thỏa mãn, đặt ẩn toạ độ, biến đổi thành phương trình đường tròn.

6. Bài tập mẫu từ đề thi trước và lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm$A(1;2)$,$B(3;4)$,$C(5;-2)$.

Giải:

Giả sử phương trình đường tròn tổng quát:$x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$

Thay$A(1;2)$vào phương trình:
$1 + 4 + 2a + 4b + c = 0 o 2a + 4b + c = -5$(1).

Thay$B(3;4)$:$9 + 16 + 6a + 8b + c = 0 o 6a + 8b + c = -25$(2).

Thay$C(5;-2)$:$25 + 4 + 10a - 4b + c = 0 o 10a - 4b + c = -29$(3).

Giải hệ:

(1):$2a + 4b + c = -5$

(2):$6a + 8b + c = -25$\Rightarrow$trừ (1):$4a + 4b = -20 o a + b = -5$10a - 4b + c = -29$\Rightarrow$(3)-(1):$8a - 8b = -24 o a - b = -3" data-math-type="inline"> $<!--LATEX_PROCESSED_1753971831165--></p><p>(3):<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mn>10</mn><mi>a</mi><mo>−</mo><mn>4</mn><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>29</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">10a - 4b + c = -29</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">10</span><span class="mord mathnormal">a</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7778em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">4</span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.4306em;"></span><span class="mord mathnormal">c</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7278em;vertical-align:-0.0833em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord">29</span></span></span></span></span>\Rightarrow<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>:</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">(3)-(1):</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord">3</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord">1</span><span class="mclose">)</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span></span></span></span></span>8a - 8b = -24 o a - b = -3$

(3):$10a - 4b + c = -29$\Rightarrow$(3)-(1):$8a - 8b = -24 o a - b = -3$

Từ $a + b = -5$,$a - b = -3$, giải hệ:

$2a = -8 o a = -4$

$b = -1$

Thay lại vào (1):$2<em>-4 + 4</em>-1 + c = -5 o -8 -4 + c = -5 o c = 7$

Vậy phương trình đường tròn:

$x^2 + y^2 - 8x - 2y + 7 = 0$

Bài 2: Tìm tiếp tuyến của đường tròn$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$tại điểm$M(5;1)$

Giải:
Tâm $I(2;-3)$; bán kính $R=5$. Ta kiểm tra $M$ có thuộc đường tròn hay không:
$IM = \sqrt{(5-2)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
$oM$thuộc$(C)$.
Dùng công thức tiếp tuyến tại $M(x_1, y_1)$:
$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = R^2 <br />$(5-2)(x-2) + (1+3)(y+3) = 25$<br />$3(x-2) + 4(y+3) = 25 o 3x + 4y = 25 + 6 - 12 = 19
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
3x + 4y = 19$

Bài 3: Phân tích vị trí tương đối đường thẳng$d: x + y - 5 = 0$và đường tròn$(C): (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$

Tâm $I(2;-1)$. Bán kính $R=3$.
Khoảng cách từ $I$tới$d$:
$d(I, d) = \frac{|2 + (-1) -5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2} < 3$nên đường thẳng$d$ cắt đường tròn.

7. Các lỗi phổ biến học sinh thường mắc phải

• Thiếu điều kiện xác định của phương trình tổng quát ($a^2 + b^2 - c > 0$)
• Quên kiểm tra điểm có thuộc đường tròn khi viết phương trình tiếp tuyến
• Sai dấu khi rút phương trình đường tròn từ dữ kiện đề
• Tính nhầm khoảng cách trong các bài vị trí tương đối
• Không chuyển đúng dạng phương trình (chuẩn <-> tổng quát) khi cần
• Thiếu bước giải hệ hoặc lẫn lộn toạ độ tâm, bán kính

8. Kế hoạch ôn tập theo thời gian

• 2 tuần trước kỳ thi:

• Tổng hợp lại lý thuyết, viết ra giấy các công thức, điều kiện dạng tổng quát.
• Luyện giải từng dạng bài cơ bản, qua điểm - qua 3 điểm, xác định tâm - bán kính.
• Ghi nhớ các ví dụ mẫu, tự kiểm tra lại từng loại bài một.

• 1 tuần trước kỳ thi:

• Tăng cường làm đề thi thử, tập trung vào dạng bài tổng hợp vị trí tương đối, tiếp tuyến.
• Đọc kỹ các đề thi năm trước, so sánh với lời giải mẫu để tìm chỗ sai, rút kinh nghiệm.

• 3 ngày trước kỳ thi:

• Ôn lại tất cả công thức quan trọng, chú trọng mẹo tính nhanh.
• Giải đề trong thời gian giới hạn, rèn kỹ năng tính toán chính xác.
• Ngủ đủ, giữ tinh thần ổn định và tự tin vào kiến thức.

9. Mẹo làm bài nhanh và chính xác

• Nhớ dạng chuẩn, dạng tổng quát và cách quy đổi nhanh giữa chúng.
• Khi tìm phương trình qua 3 điểm, viết hệ nhanh và dùng các phép biến đổi tuyến tính hợp lý.
• Trong đề bài tiếp tuyến, nếu cho sẵn điểm, kiểm tra ngay điều kiện thuộc và áp dụng công thức.
• Vẽ sơ đồ nhanh vị trí hình học để tránh nhầm lẫn và phát hiện mẹo giải nhanh nhất.
• Tự luyện nhiều bài giống đề thi thật để nâng phản xạ giải toán.