1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phép trừ hai vectơ là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình toán lớp 10, thuộc chủ đề Vectơ. Việc hiểu rõ về phép trừ hai vectơ giúp học sinh nắm chắc nền tảng toán học, ứng dụng giải các bài toán hình học, vật lý và nhiều lĩnh vực thực tiễn như điều hướng, kỹ thuật, xây dựng,... Hiểu đúng bản chất phép trừ vectơ sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán vectơ cũng như vận dụng hiệu quả trong các lớp học tiếp theo.

Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập phép trừ hai vectơ, giúp củng cố và nâng cao kỹ năng làm bài. Cùng tìm hiểu chi tiết về khái niệm này ngay dưới đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$(ký hiệu:$\vec{a} - \vec{b}$) là vectơ $\vec{c}$sao cho$\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$. Nói cách khác,$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$, với$-\vec{b}$là vectơ cùng phương, ngược hướng và cùng độ dài với$\vec{b}$.

• Ý nghĩa hình học: Trong mặt phẳng, nếu hai vectơ cùng gốc và bạn thực hiện phép trừ $\vec{a} - \vec{b}$, kết quả là vectơ từ điểm đầu của$\vec{b}$ đến điểm đầu của$\vec{a}$.

• Tính chất: Phép trừ hai vectơ KHÔNG tuân theo tính giao hoán. Nghĩa là $\vec{a} - \vec{b} <br> \neq \vec{b} - \vec{a}$, trừ khi$\vec{a} = \vec{b}$.

• Điều kiện áp dụng:

- Các vectơ cần có cùng không gian (mặt phẳng hoặc không gian 3D).

- Có thể áp dụng cho cả vectơ có tọa độ hoặc vectơ tự do (không phụ thuộc vị trí).

2.2. Công thức và quy tắc

• Công thức cần nhớ:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

- Nếu$\vec{a} = (x_1; y_1)$và $\vec{b} = (x_2; y_2)$thì:$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$

- Ghi nhớ bằng cách luôn chuyển phép trừ thành phép cộng vectơ ngược hướng.

• Điều kiện sử dụng: Áp dụng cho vectơ tọa độ hoặc vectơ tự do, miễn cùng không gian.

• Các biến thể công thức: Có thể áp dụng cho 3 chiều với$\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$và $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, khi đó $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1. Ví dụ cơ bản

Cho$\vec{a} = (5; 3)$và $\vec{b} = (2; 1)$. Hãy tính$\vec{a} - \vec{b}$.

Giải từng bước:

Bước 1: Sử dụng công thức$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$.

Bước 2: Tính từng thành phần$-thành phần:$5-2=3" data-math-type="inline"> $<!--LATEX_PROCESSED_1754124125007--></p><p>x<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˋ</mo></mover><mi>n</mi><mi>h</mi><mi>p</mi><mi>h</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˋ</mo></mover><mi>n</mi><mo>:</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">-thành phần:</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1523em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord">−</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˋ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">nh</span><span class="mord mathnormal">p</span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˋ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span></span></span></span></span>5-2=3$

x$-thành phần:$5-2=3$

y$-thành phần:$3-1=2$

Vậy$\vec{a} - \vec{b} = (3; 2)$

Lưu ý: Luôn trừ từng thành phần tương ứng, không trộn lẫn x và y.

3.2. Ví dụ nâng cao

Cho$\vec{a} = (4; -2; 5)$và $\vec{b} = (-1; 0; 3)$. Tính$\vec{a} - \vec{b}$.

Giải:

Thành phần x:$4 - (-1) = 5$

Thành phần y:$-2 - 0 = -2$

Thành phần z:$5 - 3 = 2$

Vậy$\vec{a} - \vec{b} = (5; -2; 2)$

Kỹ thuật nhanh: Chỉ cần trừ từng thành phần tương ứng theo thứ tự.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$\vec{a} = \vec{b}$thì $\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$(vectơ-không).

• Nếu$\vec{b} = \vec{0}$thì $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a}$.

• Hiệu của hai vectơ ngược hướng:$\vec{a} - ( - \vec{a} ) = \vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}$.

• Liên hệ với các phép toán khác: Phép trừ vectơ là trường hợp đặc biệt của phép cộng

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1. Lỗi về khái niệm

- Nhầm$\vec{a} - \vec{b}$với$\vec{b} - \vec{a}$(thứ tự rất quan trọng!)

- Nhầm lẫn giữa phép trừ vectơ và phép trừ từng tọa độ không đúng cách (bỏ qua dấu âm hoặc cộng sai).

Cách tránh: Ghi nhớ quy tắc đổi dấu và đúng thứ tự phép trừ.

5.2. Lỗi về tính toán

- Sai sót khi đổi dấu trong phép tính.

- Quên trừ từng thành phần ứng với x, y, (z).

Phương pháp kiểm tra: Sau khi làm xong, cộng kết quả vừa tìm với$\vec{b}$ để so sánh với$\vec{a}$(tức là kiểm tra$\vec{a} - \vec{b} + \vec{b} = \vec{a}$).

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập và luyện tập với hàng trăm bài tập Phép trừ hai vectơ miễn phí trên hệ thống. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức, kiểm tra tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng. Hãy sử dụng tính năng luyện tập phép trừ hai vectơ miễn phí để nắm vững kiến thức!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Ghi nhớ công thức:$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$hoặc$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + ( - \vec{b} )$.

- Luôn để ý thứ tự phép trừ, phân biệt rõ với phép cộng.

- Khi giải bài tập, hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách cộng ngược.

- Lập kế hoạch ôn tập: luyện tập hàng ngày với các bài tập phép trừ hai vectơ miễn phí để củng cố kiến thức.