Blog

Lớp 10

Giải thích chi tiết Phương sai và độ lệch chuẩn (Toán lớp 10): Lý thuyết, công thức, ví dụ và bài tập miễn phí

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phương sai và độ lệch chuẩn là hai khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10, đặc biệt thuộc chuyên đề Thống kê. Đây là những số đo giúp xác định mức độ phân tán của một tập hợp dữ liệu quanh giá trị trung bình. Hiểu rõ phương sai và độ lệch chuẩn sẽ giúp các bạn không chỉ giải được bài tập trên lớp mà còn vận dụng phân tích số liệu trong thực tế, như đánh giá kết quả học tập, thể thao, hoặc trong các bài toán thực tiễn. Đặc biệt, bạn còn có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 39.933+ bài tập thực hành nhằm củng cố kiến thức.

  • Giúp đánh giá sự đồng đều hay phân tán của điểm số, dữ liệu.
  • Ứng dụng trong thống kê, nghiên cứu khoa học, kinh tế, tài chính, kỹ thuật.
  • Luyện tập miễn phí với 39.933+ bài tập thực hành.

    • 2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

    2.1 Lý thuyết cơ bản

    Định nghĩa cơ bản:

  • Phương sai (VarianceVariance, ký hiệu:Var(X)\mathrm{Var}(X)hoặcs2s^2): Đo lường mức độ phân tán của các giá trị dữ liệu so với giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng phân tán.
  • Độ lệch chuẩn (Standard deviationStandard\ deviation, ký hiệu: σ\sigmahoặcss): Là căn bậc hai của phương sai, dùng để đo sự biến thiên trung bình của các giá trị dữ liệu xung quanh trung bình cộng.
  • Giá trị độ lệch chuẩn nhỏ cho thấy dữ liệu phân bố gần trung bình cộng, ngược lại giá trị lớn cho thấy dữ liệu phân tán xa hơn.

    • Điều kiện áp dụng: Đối với mẫu nhỏ (dưới 30), cần chú ý phân biệt giữa công thức tính phương sai cho mẫu (n−1n-1) và cho tổng thể (nn).

    2.2 Công thức và quy tắc

    Các công thức quan trọng:

  • Giả sử có dãy số liệux1,x2,...,xnx_1, x_2,..., x_nvới trung bình cộngx‾\overline{x}:
  • Phương sai (tổng thể): s2=1n∑i=1n(xi−x‾)2s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2
  • Phương sai (mẫu): s2=1n−1∑i=1n(xi−x‾)2s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2
  • Độ lệch chuẩn: s=s2s = \sqrt{s^2}

    • Cách ghi nhớ hiệu quả: Hãy nhớ rằng phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn, còn phương sai là tổng bình phương độ lệch chia cho số lượng (hoặc số lượng trừ 1 với mẫu).

    Biến thể: Nếu dữ liệu đã được phân nhóm với tần số nin_i:

  • Trung bình cộng: x‾=∑nixi∑ni\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}
  • Phương sai nhóm: s2=∑ni(xi−x‾)2∑nis^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \overline{x})^2}{\sum n_i}

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho dãy số liệu sau:2,4,62, 4, 6. Tính trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn.

    - Bước 1: Tính trung bình cộngx‾\overline{x}:

    x‾=2+4+63=4\overline{x} = \frac{2+4+6}{3} = 4

    - Bước 2: Tính phương sai:

    s2=13[(2−4)2+(4−4)2+(6−4)2]=13[4+0+4]=83≈2.67s^2 = \frac{1}{3}[(2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2] = \frac{1}{3}[4 + 0 + 4] = \frac{8}{3} \approx 2.67

    - Bước 3: Tính độ lệch chuẩn:

    s=2.67≈1.63s = \sqrt{2.67} \approx 1.63

    Lưu ý: Khi sử dụng công thức phương sai mẫu thì mẫu số là n−1n-1(trường hợp nàyn=3n = 3thì mẫu số là 2).

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Lớp 10A có điểm kiểm tra Toán như sau: 6 bạn đạt 7 điểm, 5 bạn đạt 8 điểm, 4 bạn đạt 9 điểm. Tính trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn.

  • - Trung bình cộng:x‾=6×7+5×8+4×96+5+4=42+40+3615=11815≈7.87\overline{x} = \frac{6 \times 7 + 5 \times 8 + 4 \times 9}{6+5+4} = \frac{42 + 40 + 36}{15} = \frac{118}{15} \approx 7.87
  • - Tính phương sai:s2=6×(7−7.87)2+5×(8−7.87)2+4×(9−7.87)215s^2 = \frac{6 \times (7-7.87)^2 + 5 \times (8-7.87)^2 + 4 \times (9-7.87)^2}{15}
  • - Thay số, ta có:
    • (7−7.87)2=(−0.87)2≈0.7569(7-7.87)^2 = (-0.87)^2 \approx 0.7569
    (8−7.87)2=(0.13)2≈0.0169(8-7.87)^2 = (0.13)^2 \approx 0.0169
    (9−7.87)2=(1.13)2≈1.2769(9-7.87)^2 = (1.13)^2 \approx 1.2769

    Áp dụng vào phương sai:

    s2=6×0.7569+5×0.0169+4×1.276915≈4.5414+0.0845+5.107615≈9.733515≈0.649s^2 = \frac{6 \times 0.7569 + 5 \times 0.0169 + 4 \times 1.2769}{15} \approx \frac{4.5414 + 0.0845 + 5.1076}{15} \approx \frac{9.7335}{15} \approx 0.649

    Độ lệch chuẩn: s=0.649≈0.81s = \sqrt{0.649} \approx 0.81

    → Dữ liệu điểm số có mức phân tán tương đối nhỏ.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • Nếu tất cả các giá trị giống nhau thì phương sai và độ lệch chuẩn đều bằng 0.
  • Nếu dữ liệu lệch nhiều về một phía (bất đối xứng) thì phương sai phản ánh rõ mức độ phân tán.
  • Nếu dữ liệu có số lượng rất lớn, dùng công thức tổng quát (mẫu số là nn).

    • Mối liên hệ: Phương sai và độ lệch chuẩn là số đo mức độ phân tán, đi cùng với các đại lượng như trung bình cộng, trung vị để mô tả dữ liệu.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn phương sai với độ lệch chuẩn (phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn).
  • Nhầm công thức tính cho mẫu và cho tổng thể.
  • Quên tính trung bình cộng trước khi tính phương sai.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Tính sai hiệuxi−x‾x_i - \overline{x}, dẫn đến các giá trị bình phương sai.
  • Lỗi trong phép nhân hoặc cộng các bình phương sai.
  • Chia sai mẫu số (nnhoặcn−1n-1).

    • Cách kiểm tra: Thử tính lại với dữ liệu nhỏ, so sánh kết quả với độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn phải luôn dương.

    6. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể truy cập 39.933+ bài tập Phương sai và độ lệch chuẩn miễn phí tại đây. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức; hệ thống sẽ theo dõi tiến độ học tập và tự động gợi ý nâng cao kỹ năng của bạn!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Phương sai và độ lệch chuẩn là các số đo mức độ phân tán quan trọng trong thống kê.
  • Nhớ công thức tính trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn.
  • Luôn kiểm tra công thức mẫu số khi tính.
  • Luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo ứng dụng thực tế.

    • Checklist kiến thức trước khi làm bài:

  • - Tính chính xác trung bình cộng
  • - Hiểu và áp dụng đúng công thức phương sai, độ lệch chuẩn
  • - Phân biệt dữ liệu mẫu hay tổng thể

    • Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Học lý thuyết kèm ví dụ, luyện tập nhiều dạng bài, kiểm tra tiến độ thường xuyên để làm chủ kiến thức "Phương sai và độ lệch chuẩn" trong chương trình Toán 10.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".