1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phương trình chính tắc của elip là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 10 thuộc chuyên đề đường conic – sử dụng rộng rãi trong Hình học phẳng hiện đại và thực hành các bài tập phương pháp tọa độ.

Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán về hình học tọa độ, tính diện tích, xác định vị trí, khoảng cách, và ứng dụng thực tiễn trong vật lý, kỹ thuật, thiết kế,… Nắm vững lý thuyết và thực hành thành thạo phương trình chính tắc của elip là nền tảng để học tốt các kiến thức bậc cao hơn hoặc luyện thi THPT Quốc gia.

Trên nền tảng trực tuyến miễn phí, bạn có thể luyện tập ngay với 37.799+ bài tập phương trình chính tắc của elip miễn phí, không cần đăng ký – cực kì thuận tiện cho việc củng cố và nâng cao kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa elip: Elip là tập hợp các điểm M trên mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1, F2 (gọi là tiêu điểm) luôn không đổi và lớn hơn khoảng cách F1F2.

• Phương trình chính tắc: Trong hệ tọa độ Oxy, elip có tâm tại gốc tọa độ, trục lớn trùng với trục Ox, trục bé trùng với trục Oy có phương trình chính tắc là:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (a > b > 0)$

• a là bán trục lớn, b là bán trục bé. Khoảng cách giữa 2 tiêu điểm: $2c$với$c = \sqrt{a^2 - b^2}$.

• Tâm elip:$O(0;0)$; Tiêu điểm:$F_1(-c;0)$và $F_2(c;0)$. Trục lớn có độ dài$2a$; trục bé dài$2b$.

Điều kiện áp dụng: Phương trình trên chỉ dùng khi elip đã được đưa về tâm O và trục song song với các trục toạ độ.

2.2 Công thức và quy tắc

+ Công thức cần thuộc lòng:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \;(a > b > 0)$

- a: bán trục lớn, b: bán trục bé ($a > b > 0$), $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.

+ Công thức tính tiêu cự: $c = \sqrt{a^2 - b^2}$; Khoảng cách 2 tiêu điểm: $2c$.

+ Công thức biến thể: Nếu elip có tâm$I(h;k)$thì:

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \;(a > b > 0)$

+ Quy tắc nhớ nhanh: Elip tương tự như đường tròn nhưng đã "kéo dãn" theo hai chiều khác nhau. Ghi nhớ bằng so sánh: đường tròn có dạng$x^2 + y^2 = R^2$còn elip thì chia biến x, y cho$a, b$tương ứng.

+ Điều kiện áp dụng: Chỉ khi hệ số dưới mẫu đều dương,$a > b > 0$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip có bán trục lớn$a=5$, bán trục bé $b=3$.

Lời giải từng bước:

1. Xác định$a, b$:$a = 5$,$b = 3$

2. Áp dụng công thức:$\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$

Kết quả:$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

Lưu ý:

• Luôn kiểm tra$a > b > 0$
• Phân biệt đúng vai trò của a, b

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm$F_1(-4;0)$,$F_2(4;0)$, biết rằng elip nhận$O(0;0)$làm tâm và đi qua điểm$M(5;3)$.

Lời giải từng bước:

1. Tiêu cự $c = 4$, nên$a^2 = b^2 + c^2$.

2. Giả sử phương trình:$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

3. Vì $M(5;3)$thuộc elip:

$\frac{25}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1$

4. Giải hệ

Giải ra:$a^2 = 25$,$b^2 = 9$

5. Vậy phương trình là:$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

Kỹ thuật: Xác định mối quan hệ giữa tiêu cự và bán trục thông qua $c = \sqrt{a^2 - b^2}$, thay điều kiện điểm nằm trên elip vào phương trình.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$a = b$, phương trình chính tắc của elip trở thành phương trình đường tròn:$x^2 + y^2 = a^2$.

- Nếu elip có tâm không tại gốc tọa độ, phương trình dạng:$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$.

- Nếu$b > a$, trục lớn sẽ trùng với trục Oy, phương trình đổi vai trò:$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$.

- Mối liên hệ: Phương trình elip là một trong ba dạng chính của phương trình conic (elip, parabol, hypebol).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn elip với đường tròn khi$a=b$
• Hiểu sai vị trí tiêu điểm, tâm
• Không xác định đúng trục lớn, trục bé

5.2 Lỗi về tính toán

• Đặt nhầm giá trị $a, b$
• Tính tiêu cự thiếu dấu căn
• Lẫn lộn các dạng phương trình conic khác

Cách kiểm tra: Sau khi giải xong, thay điểm thuộc elip vào phương trình kiểm tra hợp lý.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Khám phá kho 37.799+ bài tập Phương trình chính tắc của elip miễn phí ngay tại đây. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập Phương trình chính tắc của elip miễn phí để củng cố kiến thức, kiểm tra tiến độ, cải thiện kỹ năng giải Toán 10 và chuẩn bị cho các bài kiểm tra quan trọng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Phương trình chính tắc elip:$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$($a > b > 0$)
• Vị trí, tính chất các điểm đặc biệt (tâm, trục lớn, trục bé, tiêu điểm)
• Mối liên hệ $a^2 = b^2 + c^2$, $c = \sqrt{a^2 - b^2}$
• Kiểm tra kỹ điều kiện$a > b > 0$và kiểm tra kết quả sau giải

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Nắm chắc lý thuyết, ghi nhớ công thức chuẩn, làm nhiều bài luyện tập, tự kiểm tra bằng cách thế nghiệm vào phương trình.