Blog

Lớp 10

Phương trình chính tắc của elip: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phương trình chính tắc của elip là một khái niệm trọng tâm thuộc chương “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” lớp 10 hình học. Việc nắm vững kiến thức này giúp học sinh hiểu rõ hơn về các dạng đường conic, đặc biệt là elip, từ đó áp dụng trong nhiều dạng bài tập hình học và toán học thực tiễn.

Việc hiểu rõ phương trình chính tắc của elip không chỉ giúp giải các bài toán hình học trong chương trình lớp 10 mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế như: thiết kế quỹ đạo vệ tinh, mô tả hình học các vật thể, giải quyết bài toán tối ưu,... Ngoài ra, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với 37.799+ bài tập để thành thạo chủ đề này.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểmM(x;y)M(x; y)trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ MM đến hai điểm cố địnhF1,F2F_1, F_2(gọi là hai tiêu điểm) luôn không đổi.

- Phương trình chính tắc của elip: Hai dạng phổ biến với tâmO(0,0)O(0,0):

  • • Elip có trục lớn song song Ox:
    x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)
  • • Elip có trục lớn song song Oy:
    x2b2+y2a2=1(a>b>0)\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b > 0)

    • - Tiêu cự: c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2} là nửa khoảng cách giữa hai tiêu điểm.

    - Tính chất:
    + Tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên elip đến hai tiêu điểm luôn bằng2a2a.
    + Trục lớn có độ dài2a2a, trục nhỏ có độ dài2b2b.

    Lưu ý: Điều kiện để tồn tại elip là a>b>0a > b > 0.

    2.2 Công thức và quy tắc

  • - Công thức cần nhớ:
    + Phương trình chính tắc:(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1(tâmO(x0,y0)O(x_0, y_0))
  • -a,ba, blà nửa trục lớn, nửa trục nhỏ (luôna>b>0a > b > 0)
  • - Nửa tiêu cự: c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2}
  • - Để ghi nhớ: Trục lớn ứng với mẫu số lớn hơn trong phương trình!
  • - Công thức cho elip quay quanh Oy: đổiaavà bbvị trí cho nhau!
  • - Công thức tính tiêu điểm:F1(−c;0)F_1(-c; 0),F2(c;0)F_2(c; 0)(trục lớn song song Ox), hoặcF1(0;−c)F_1(0; -c),F2(0;c)F_2(0; c)(trục lớn song song Oy)

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Ví dụ: Cho elip có phương trìnhx216+y29=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1.

    Gọi tên các trục, tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tìm các tiêu điểm.

  • - So sánha2=16⇒a=4a^2 = 16 \Rightarrow a = 4,b2=9⇒b=3b^2 = 9 \Rightarrow b = 3, nên trục lớn song song Ox.
  • - Độ dài trục lớn:2a=82a = 8
    - Độ dài trục nhỏ:2b=62b = 6
  • - Nửa tiêu cự: c=a2−b2=16−9=7≈2,65c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2,65
  • - Các tiêu điểm: F1(−7;0),F2(7;0)F_1(-\sqrt{7}; 0), F_2(\sqrt{7}; 0)

    • Chú ý: Trục lớn luôn ứng với mẫu số lớn hơn!

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Ví dụ: Viết phương trình elip tâmOOcó trục lớn song song Oy, biết trục lớn1010, trục nhỏ 66.

  • -2a=10⇒a=52a = 10 \Rightarrow a = 5,2b=6⇒b=32b = 6 \Rightarrow b = 3
  • - Vì trục lớn song song Oy:
    x232+y252=1\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1hayx29+y225=1\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1
  • - Nửa tiêu cự: c=a2−b2=25−9=4c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = 4
  • - Các tiêu điểm:F1(0;−4),F2(0;4)F_1(0; -4), F_2(0; 4)

    • Kỹ thuật giải nhanh: Luôn xác định mẫu số nào lớn hơn để biết phương trình chính tắc có dạng nào.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • - Nếua=ba = b, phương trình trở thành của đường tròn:x2R2+y2R2=1⇔x2+y2=R2\frac{x^2}{R^2} + \frac{y^2}{R^2} = 1 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = R^2
  • - Nếub=0b = 0hoặca=0a = 0thì không tồn tại elip.
  • - Elip là trường hợp đặc biệt của conic, liên hệ với parabola, hyperbol khi tham số thay đổi.

    • Lưu ý xử lý các trường hợpa<ba < bkhông được gọi là elip chính tắc.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm elip với đường tròn (khia=ba = b).
  • - Không xác định đúng trục lớn, trục nhỏ.
  • - Nhầm tiêu điểm với các điểm đặc biệt khác.
  • - Ghi nhớ: mẫu số lớn hơn quyết định trục lớn!

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • - Nhầm lẫn cộng trừ khi tính tiêu cự c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2}.
  • - Quên kiểm tra điều kiệna>b>0a > b > 0.
  • - Quên bình phương nửa trục khi thế vào phương trình.
  • - Cách kiểm tra kết quả: Đối chứng lại bằng công thức và kiểm traa,ba, b đã đúng chưa.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập ngay ngân hàng với 37.799+ bài tập Phương trình chính tắc của elip miễn phí. Bạn không cần đăng ký, có thể bắt đầu luyện tập mọi lúc, mọi nơi. Hệ thống sẽ theo dõi tiến độ học tập và giúp bạn cải thiện kỹ năng nhanh chóng!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Phương trình chính tắc của elip luôn có dạng(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1vớia>b>0a > b > 0.
  • - Nhớ mẫu số lớn hơn ứng với trục lớn, nhỏ ứng với trục nhỏ.
  • - Tiêu điểm xác định theo c=a2−b2c = \sqrt{a^2 - b^2}.
  • - Checklist trước khi làm bài:
    + Xác định tâm, trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm.
    + Ghi nhớ điều kiệna>b>0a > b > 0.
    + Lưu ý biến thể phương trình khi tâm không tại gốc tọa độ.
  • - Kế hoạch ôn tập: Học lý thuyết, làm ví dụ, luyện đề trên hệ thống.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".