1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phương trình chính tắc của hyperbol là kiến thức cốt lõi trong chương IX (Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng) Toán lớp 10. Đây là phần kiến thức xây dựng nền tảng để giải các bài tập liên quan đến các đường conic như elip, parabol, hyperbol.

Việc hiểu vững khái niệm này giúp học sinh dễ dàng nhận dạng và giải các phương trình liên quan đến hyperbol trong học tập và kỳ thi. Ngoài ra, dạng toán này còn xuất hiện nhiều trong thực tiễn như mô hình chuyển động, vật lý, kỹ thuật, và các lĩnh vực nghiên cứu khoa học khác. Để giúp bạn luyện tập thành thạo, website cung cấp hơn 40.504+ bài tập Phương trình chính tắc của hyperbol miễn phí.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hyperbol là tập hợp các điểm M(x, y) trong mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm cố định F₁ và F₂ luôn không đổi, bằng$2a$($a > 0$).
- Tâm của hyperbol là điểm cân đối giữa hai tiêu điểm.
- Trục chính: Trục đi qua hai tiêu điểm.
- Hyperbol có hai nhánh đối xứng nhau qua tâm.

- Điều kiện tồn tại:$a > 0$,$b > 0$,$c^2 = a^2 + b^2$.
- Hyperbol có hai đường tiệm cận đi qua tâm, có phương trình$y = \frac{b}{a}x$và $y = -\frac{b}{a}x$(trong trường hợp hyperbol tâm O, trục nằm trên Ox).

2.2 Công thức và quy tắc

• Phương trình chính tắc của hyperbol có tâm$O(0, 0)$, trục chính trùng với trục Ox:
• $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0)$
• Nếu trục chính trùng Oy, đổi x và y với nhau:
• $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$
• Ghi nhớ: Cái chứa dấu trừ là biến nằm ở dưới.
• Công thức tiêu điểm: $F_{1,2} ( \pm c, 0)$với$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Công thức đường chuẩn và đường tiệm cận cũng thường xuất hiện trong bài tập.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của hyperbol có tâm O, trục chính trùng với Ox, biết$a = 2$,$b = 1$.

• Áp dụng công thức:$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
• Thay$a = 2$,$b = 1$ta có:$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$
• Tiêu điểm: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
• Toạ độ tiêu điểm: $F_1 (\sqrt{5}, 0)$và $F_2 (-\sqrt{5}, 0)$.

Lưu ý: Một số bạn dễ nhầm lẫn giữa$a$và $b$trong công thức, cần đọc kỹ đề để xác định đúng vị trí biến.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho hyperbol có phương trình$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$. Hãy xác định các yếu tố sau: (1) Toạ độ tiêu điểm (2) Phương trình các đường tiệm cận (3) Vẽ phác thảo đồ thị.

• (1) $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$; $b^2 = 16 \Rightarrow b = 4$;
  $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
  Toạ độ tiêu điểm: $F_1 (5, 0)$và $F_2 (-5, 0)$
• (2) Các đường tiệm cận:$y = \frac{b}{a} x = \frac{4}{3}x$và $y = -\frac{4}{3}x$
• (3) Đồ thị: Vẽ hai nhánh hyperbol đối xứng qua Ox, đường trục chính là Ox, đường tiệm cận như trên.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu phương trình hyperbol có dạng tổng quát chưa đưa về chính tắc, cần biến đổi về dạng$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$hoặc$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$.
• Nếu tâm khác O, phương trình sẽ là $\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1$với$(x_0, y_0)$là tọa độ tâm.
• Hyperbol cắt trục nào?
  - Nếu$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$→ cắt Ox tại$\pm a$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn hyperbol với elip, parabol.
  → Phân biệt: dấu trừ ở hyperbol, elip là dấu cộng.
• Cẩn thận xác định đâu là $a$(chủng số dương đi cùng biến có hệ số dương ở vế trái).

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Nhớ là dấu $+$, khác dấu $-$ của elip.
• Khi vẽ đồ thị hay xác định tiệm cận/ tiêu điểm, dễ nhầm vị trí hoặc phương trình.
• Kiểm tra lại các phép tính căn bậc hai, thay số cẩn thận.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay 40.504+ bài tập bài tập Phương trình chính tắc của hyperbol miễn phí mà không cần đăng ký. Bắt đầu luyện tập ngay để theo dõi tiến độ học và cải thiện kỹ năng toán học của mình!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Hyperbol: Tập hợp điểm có hiệu khoảng cách tới 2 tiêu điểm không đổi.
• Phương trình chính tắc:$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$(Ox là trục chính),$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$(Oy là trục chính)
• Công thức: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, các đường tiệm cận.
• Phân biệt rõ với elip (dấu$+$thay vì $-$).
• Kiểm tra kỹ khi tính toán, chú ý dấu và vị trí các tham số.