Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính: Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính là một khái niệm rất quan trọng trong chương trình Toán 10 phần Hình học giải tích. Một đường tròn trên mặt phẳng tọa độ Oxy có thể được mô tả chính xác hoàn toàn nếu biết vị trí tâm và độ dài bán kính. Nắm vững kiến thức này giúp học sinh dễ dàng giải các bài toán liên quan đến hình học phẳng, xác định vị trí hình tròn, kiểm tra điểm nằm trong hay ngoài đường tròn cũng như ứng dụng trong các bài tập thực tế như thiết kế, xây dựng hoặc lập trình đồ họa.

Hiểu rõ phương trình này giúp bạn làm tốt các dạng bài tập, chuẩn bị cho kiểm tra giữa kỳ, thi học kỳ, và luyện thi THPT Quốc gia sau này. Ngoài ra, kiến thức về đường tròn còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như thiết kế kỹ thuật, bản đồ, kiến trúc,...

Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính để củng cố vững vàng kiến thức!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định (gọi là tâm) một khoảng không đổi (gọi là bán kính).
• Tâm đường tròn: Ký hiệu là $O(a; b)$, với$a$,$b$là tọa độ tâm.
• Bán kính: Là số thực dương$R$.
• Tập hợp điểm$M(x, y)$thỏa mãn:$OM = R$.

Điều kiện áp dụng: Phương trình áp dụng cho mọi đường tròn trong mặt phẳng với tâm và bán kính cụ thể.

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức tổng quát của phương trình đường tròn có tâm$O(a; b)$, bán kính$R$:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

• Khi tâm trùng gốc tọa độ $O(0;0)$:$x^2 + y^2 = R^2$
• Nếu biết phương trình tổng quát$x^2 + y^2 + 2ax + 2by + c = 0$, có thể chuyển về dạng tâm - bán kính bằng cách quy đồng và phân tích hằng đẳng thức.

Cách ghi nhớ hiệu quả: Luôn nhớ $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$– "Khoảng cách từ điểm bất kỳ đến tâm luôn bằng bán kính."

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đường tròn tâm$O(2; -1)$, bán kính$R = 3$. Viết phương trình đường tròn.

- Áp dụng công thức:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
- Thay$a = 2$,$b = -1$,$R = 3$:

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$

Lưu ý: Bán kính luôn phải là số dương;$y + 1$vì $-(-1) = +1$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm$A(1;2)$, có tâm$O(3; -1)$.

Giải: Khoảng cách$OA$là bán kính.

$R = ext{OA} = \sqrt{(1 - 3)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Đường tròn cần tìm có phương trình:$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13$

Kỹ thuật giải nhanh: Đọc đề kỹ, xác định đúng tâm và bán kính trước khi thay số.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Tâm trùng với gốc tọa độ:$O(0;0)$, phương trình:$x^2 + y^2 = R^2$
• Bán kính âm hoặc$R=0$không xác định, không tồn tại đường tròn thực.
• Chuyển từ phương trình tổng quát sang dạng trung tâm, cần phân tích và so sánh hằng đẳng thức.

Liên hệ với các khái niệm: Kiểm tra vị trí tương đối điểm-đường tròn, phương trình tiếp tuyến, bài toán cực trị,...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu sai dạng tổng quát và dạng chuẩn của phương trình đường tròn.
• Nhầm lẫn với phương trình elip, parabol
• Ghi nhớ: Đường tròn luôn có hệ số $x^2$và $y^2$bằng nhau, không chứa$xy$.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai hằng số khi khai triển$(x - a)^2$hoặc$(y - b)^2$
• Quên đổi dấu khi thay số vào công thức
• Cách kiểm tra: Thay lại tọa độ tâm vào phương trình phải luôn đúng với$R$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay 42.226+ bài tập Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính miễn phí tại hệ thống học tập. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Nhớ công thức chuẩn:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
• Nhận biết dạng đặc biệt: tâm tại$O(0;0)$hoặc bán kính là số đặc biệt
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thay tọa độ tâm vào phương trình.

Checklist kiến thức trước khi làm bài: Định nghĩa, công thức, các dạng bài tập cơ bản - nâng cao, phân biệt với hàm parabol và elip.

Kế hoạch ôn tập: Làm ít nhất 10 bài tập mỗi ngày, kết hợp lý thuyết với thực hành, kiểm tra lại kết quả để tránh sai sót.