Blog

Phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng: Khái niệm, công thức, ví dụ chi tiết và luyện tập miễn phí

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, việc hiểu về "Phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng" là nền tảng để giải quyết các bài toán hình học trong mặt phẳng tọa độ. Nắm vững khái niệm này giúp học sinh xây dựng tư duy logic, dễ dàng học tốt các chuyên đề về hình học, tọa độ và là bước đệm quan trọng cho các lớp học cao hơn.

Hiểu rõ về phương trình tổng quát và tham số giúp bạn:

  • Vận dụng linh hoạt giải các bài toán về hình học tọa độ.
  • Phân tích và xác định đường thẳng qua hai điểm, song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước.
  • Áp dụng hiệu quả trong bài thi, kiểm tra và các tình huống thực tế như thiết kế, đo đạc, vẽ bản đồ…

Bạn có thể luyện tập hơn 1000+ bài tập về Phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng miễn phí bên dưới!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ OxyOxycó thể xác định bằng nhiều dạng phương trình. Hai dạng quan trọng nhất là: phương trình tổng quát và phương trình tham số.

  • Phương trình tổng quát của đường thẳng dạng:Ax+By+C=0Ax + By + C = 0vớiA,BA, Bkhông đồng thời bằng 0.
  • Phương trình tham số của đường thẳng dạng:
    {x=x0+aty=y0+bt\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt\\\end{cases}
    , với(x0,y0)(x_0, y_0)là một điểm thuộc đường thẳng,(a,b)(a, b)là vector chỉ phương,tRt \in \mathbb{R}.

Các tính chất và định lý quan trọng:

  • Hai đường thẳng song song khiA1A2=B1B2C1C2\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}.
  • Hai đường thẳng vuông góc khiA1A2+B1B2=0A_1A_2 + B_1B_2 = 0.
  • Đường thẳng đi qua điểmM(x0,y0)M(x_0, y_0)có vector pháp tuyếnn=(A,B)\vec{n} = (A, B)sẽ có phương trìnhA(xx0)+B(yy0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0.

Điều kiện áp dụng:

  • Chỉ áp dụng cho đường thẳng (không áp dụng cho đoạn thẳng, nửa đường thẳng).
  • Các hệ số A,BA, Btrong phương trình tổng quát không đồng thời bằng 0.

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức cần nhớ:

  • Phương trình tổng quát:Ax+By+C=0Ax + By + C = 0
  • Phương trình tham số:x=x0+at,\y=y0+btx = x_0 + at, \y = y_0 + bt
  • Phương trình đường thẳng qua hai điểmA(x1,y1),B(x2,y2):xx1x2x1=yy1y2y1,x1x2A(x_1, y_1), B(x_2, y_2): \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} = \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}, x_1 \neq x_2
  • Điều kiện vector pháp tuyến:(A,B)(0,0)(A, B) \neq (0, 0)

Cách ghi nhớ công thức: Viết công thức nhiều lần, vận dụng giải bài tập, liên tưởng hệ số A,BA, Blà hệ số củax,yx, y(a,b)(a, b)là véc-tơ chỉ phương.

Lưu ý biến thể: Có thể chuyển đổi giữa các dạng phương trình khi biết điểm và véc-tơ chỉ phương hoặc pháp tuyến của đường thẳng.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểmA(2,3)A(2, 3)và có véc-tơ pháp tuyếnn=(1,2)\vec{n} = (1, -2).

Giải:

  1. Áp dụng công thức:A(xx0)+B(yy0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0với(A,B)=(1,2)(A, B) = (1, -2),(x0,y0)=(2,3)(x_0, y_0) = (2, 3).
  2. Thay số vào công thức:1(x2)2(y3)=0x22y+6=0x2y+4=01(x - 2) - 2(y - 3) = 0 \Rightarrow x - 2 - 2y + 6 = 0 \Rightarrow x - 2y + 4 = 0.

Kết quả: Phương trình tổng quát là x2y+4=0x - 2y + 4 = 0.

Lưu ý: Khi biết điểm và vector pháp tuyến, nên sử dụng dạng công thứcA(xx0)+B(yy0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho hai điểmA(1,2)A(1,2)B(3,6)B(3,6). Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi quaA,BA, B.

Giải:

  1. Tìm vector chỉ phương:AB=(31,62)=(2,4)\vec{AB} = (3-1, 6-2) = (2, 4).
  2. Phương trình tham số: \begin{cases} x = 1 + 2t \\y = 2 + 4t \\\end{cases} vớitRt \in \mathbb{R}.
  3. Phương trình tổng quát: Tìm vector pháp tuyếnn=(4,2)\vec{n} = (-4, 2)(lấy(b,a)(-b, a)), áp dụngA(xx0)+B(yy0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0với(x0,y0)=(1,2)(x_0, y_0) = (1,2):4(x1)+2(y2)=04x+4+2y4=04x+2y=0-4(x - 1) + 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow -4x + 4 + 2y - 4 = 0 \Leftrightarrow -4x + 2y = 0hoặc2y=4x2y = 4x.

Kỹ thuật giải nhanh: Khi biết hai điểm, giá trị vector chỉ phương chính là hiệu tọa độ hai điểm.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đường thẳng song song hoặc trùng với trụcOxOx(tứcy=hy = h):B=0B = 0.
- Đường thẳng song song hoặc trùng với trụcOyOy(x=kx = k):A=0A = 0.
- Đường thẳng qua gốc tọa độ:C=0C = 0.
- Khi hai đường thẳng trùng nhau: các hệ số tỷ lệ bằng nhau:A1A2=B1B2=C1C2\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}.
- Mối liên hệ với các khái niệm khác: Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, vị trí tương đối hai đường thẳng.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương.
  • Nhầm giữa phương trình tổng quát và phương trình chính tắc.
  • Nghĩ rằng mọi đường thẳng đều có thể viết được phương trình tham số vớittbất kỳ (trừ trường hợpa=0a = 0hoặcb=0b = 0cần đặc biệt chú ý cách viết tham số).

Cách phòng tránh: Học cách phân biệt qua ví dụ, luyện tập nhiều bài tập lý thuyết.

5.2 Lỗi về tính toán

  • Thay sai tọa độ điểm vào công thức.
  • Sai dấu khi tính toán các hệ số.
  • Tính toán nhầm khi đổi từ dạng tham số sang tổng quát.

Cách kiểm tra: Sau khi viết phương trình, thử thay toạ độ điểm ban đầu vào để kiểm chứng đáp án.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bắt đầu làm 1000+ bài tập Phương trình tổng quát và tham số của đường thẳng miễn phí tại đây, không cần đăng ký! Hệ thống sẽ tự động ghi nhận tiến độ, giúp bạn cải thiện kỹ năng mỗi ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Những ý chính cần nhớ:

  • Phương trình tổng quát:Ax+By+C=0Ax + By + C = 0,A,BA, Bkhông đồng thời bằng 0.
  • Phương trình tham số:x=x0+at,y=y0+btx = x_0 + at, y = y_0 + btvớitRt \in \mathbb{R}.
  • Biết chuyển đổi giữa các dạng phương trình tuỳ vào bài toán cho thông tin gì.
  • Luôn kiểm tra đáp án bằng cách thay toạ độ xác định đường thẳng vào phương trình vừa tìm.

Checklist kiến thức:

  • Phân biệt đúng phương trình tổng quát và tham số
  • Nắm được cách xác định véc-tơ pháp tuyến, véc-tơ chỉ phương
  • Biết chuyển sang dạng phù hợp với dữ kiện đề bài
  • Luyện tập thường xuyên để nhớ mẫu và tránh lỗi sai.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả:

  1. Ôn lại lý thuyết về các dạng phương trình đường thẳng.
  2. Làm bài tập theo chủ đề từ dễ đến khó.
  3. Thường xuyên kiểm tra lại cách trình bày và tính toán của mình.
  4. Sử dụng hệ thống luyện tập miễn phí để củng cố kiến thức.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".