Blog

Lớp 10

Quan sát đồ thị hàm số bậc hai: Lý thuyết, ví dụ, luyện tập miễn phí cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Quan sát đồ thị hàm số bậc hai là một chủ đề trọng tâm trong chương trình Đại số lớp 10. Việc hiểu rõ khái niệm này giúp bạn dễ dàng xác định hình dạng, vị trí, các điểm đặc biệt của hàm số bậc hai trên mặt phẳng tọa độ. Không chỉ hỗ trợ giải toán trên lớp, kiến thức về đồ thị hàm số còn có nhiều ứng dụng thực tiễn như mô hình hóa đường đi của vật thể (quỹ đạo parabol), tối ưu hóa, dự đoán xu hướng trong kinh tế hoặc kỹ thuật,... Ngoài ra, bạn có thể luyện tập với 42.226+ bài tập Quan sát đồ thị hàm số bậc hai miễn phí ngay trên website này để củng cố hiệu quả!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + cvớia≠0a \neq 0. Đồ thị là một đường parabol.

  • - Đỉnh parabol: Có tọa độ (xv,yv)\left(x_v, y_v\right)vớixv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}và yv=f(xv)y_v = f\left(x_v\right).
  • - Trục đối xứng:x=xv=−b2ax = x_v = -\frac{b}{2a}
  • - Hướng bề lõm (mở lên/kẻ xuống): Dấu củaaa.
  • - Parabol cắt trục tung tạiC(0;c)C(0; c). Parabol cắt trục hoành tại các điểm nghiệm củaax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

    • Điều kiện áp dụng:

  • -a≠0a \neq 0 để hàm số là bậc hai.

    • Giới hạn: Lý thuyết chỉ áp dụng cho hàm số bậc hai một ẩn.

    2.2 Công thức và quy tắc

  • Các công thức cần nhớ:
  • - Đỉnh:xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a},yv=−Δ4ay_v = -\frac{\Delta}{4a}vớiΔ=b2−4ac\Delta = b^2-4ac
  • - Trục đối xứng:x=xvx = x_v
  • - Khoảng đồng biến/nghịch biến: Nếua>0a > 0, hàm số nghịch biến trên(−∞,xv)(-\infty, x_v), đồng biến trên(xv,+∞)(x_v, +\infty).
  • Nếua<0a < 0, hàm số đồng biến trên(−∞,xv)(-\infty, x_v), nghịch biến trên(xv,+∞)(x_v, +\infty).
  • - Giao với trục hoành: Giải phương trìnhax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.
  • Các biến thể: Nếub=0b = 0hoặcc=0c = 0thì đồ thị có tính chất đặc biệt (trục đối xứng, đi qua gốc tọa độ,...).

    • Mẹo ghi nhớ: Gắn công thức với hình ảnh đồ thị, ví dụ "-b/2a là hoành độ đỉnh, dấu a xác định hướng parabol".

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Cho hàm số y=2x2+4x−6y = 2x^2 + 4x - 6. Hãy xác định đỉnh, trục đối xứng, hướng parabol và các giao điểm với trục tọa độ.

  • Bước 1: Xác định hệ số a=2>0a = 2 > 0→ Parabol hướng lên.
  • Bước 2: Tính đỉnh:

    • xv=−b2a=−42×2=−1x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times 2} = -1

    yv=2(−1)2+4(−1)−6=2−4−6=−8y_v = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8

  • Đỉnh parabol:(−1,−8)(-1, -8). Trục đối xứngx=−1x = -1.
  • Bước 3: Giao với trục tung:x=0x = 0→y=−6y = -6. ĐiểmC(0,−6)C(0, -6).
  • Bước 4: Giao với trục hoành: Giải2x2+4x−6=02x^2 + 4x - 6 = 0.

    • Δ=42−4×2×(−6)=16+48=64\Delta = 4^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64

    x1=−4+84=1x_1 = \frac{-4+8}{4} = 1,x2=−4−84=−3x_2 = \frac{-4-8}{4} = -3

  • Các giao điểm trục hoành:A(1,0)A(1,0)và B(−3,0)B(-3,0).

    • Lưu ý: Nhớ kiểm tra dấu hệ số aa để xác định "parabol ngửa hay úp".

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Cho hàmy=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Hãy tìm điểm cực đại, xác định các khoảng đồng biến/nghịch biến.

  • -a=−1<0a = -1 < 0, parabol hướng xuống, có cực đại.
  • - Hoành độ đỉnhxv=−62×(−1)=3x_v = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3
  • - Tung độ đỉnh:yv=−(3)2+6⋅3−5=−9+18−5=4y_v = -(3)^2 +6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 -5 = 4

    • → Đỉnh là cực đạiM(3,4)M(3, 4). Người học có thể vẽ nhanh đồ thị dựa vào các đặc điểm trên.

  • - Khoảng đồng biến:(−∞,3)(-\infty, 3), khoảng nghịch biến:(3,+∞)(3, +\infty).

    • Kỹ thuật xử lý nhanh: So sánh dấuaa & biểu thứcxvx_v để nghĩ ngay đến đặc điểm đồ thị.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • - Nếub=0b = 0, parabol đối xứng quaOyOy.
  • - Nếuc=0c = 0, parabol cắt gốc tọa độ.
  • - NếuΔ<0\Delta < 0, parabol không cắt trục hoành.

    • Liên hệ: Hiểu các trường hợp đặc biệt giúp xử lý nhanh khi vẽ, dự đoán và kiểm tra kết quả.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • - Nhầm lẫnaa,bb,cchoặc viết sai công thức đỉnh.
  • - Gán sai dấu hệ số aa,bb,cc.
  • - Nhầm lẫn trục đối xứng với đường thẳng khác.

    • Phân biệt: Hãy viết lại công thức, tự kiểm tra với ví dụ đơn giản, làm bài tập luyện tập thường xuyên.

    5.2 Lỗi về tính toán

  • - Sai khi tínhΔ\Delta, hoặc nhẩm nghiệm/phép tính cơ bản.
  • - Không kiểm tra lại đáp số sau khi giải xong.

    • Cách kiểm tra kết quả: Thay nghiệm vào biểu thức ban đầu, hoặc sử dụng phần mềm vẽ đồ thị kiểm chứng.

    6. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập ngay 42.226+ bài tập luyện Quan sát đồ thị hàm số bậc hai miễn phí. Không cần đăng ký, làm bài ngay, theo dõi kết quả thực tế, củng cố kỹ năng học Quan sát đồ thị hàm số bậc hai miễn phí.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • - Biết dạng tổng quáty=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, xác định đỉnh, trục đối xứng, hướng, các giao điểm.
  • - Thuộc lòng công thứcxv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a},yv=f(xv)y_v = f(x_v).
  • - Kiểm tra dấuaaxác định đoạn đồng/nghịch biến.
  • - Ôn tập lỗi thường gặp để tránh sai sót.
  • - Checklist ôn tập: Công thức - Cách vẽ - Xác định yếu tố đặc biệt - Tự kiểm tra kết quả.

    • Lập kế hoạch ôn luyện, làm bài thực hành thường xuyên để nắm vững kỹ năng quan sát đồ thị hàm số bậc hai.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".