Blog

Lớp 10

Quan sát đồ thị hàm số bậc hai – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về "Quan sát đồ thị hàm số bậc hai" và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 10, hàm số bậc hai và đồ thị của nó là một nội dung cơ bản và quan trọng. Việc quan sát đồ thị hàm số bậc hai giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về đặc điểm, hình dạng và tính chất của loại hàm số này, từ đó biết cách vận dụng trong giải toán và ứng dụng vào thực tế. Đây cũng là cơ sở để học tốt các phần kiến thức nâng cao như bất phương trình bậc hai, cực trị và Hình học tọa độ.

2. Định nghĩa chính xác khái niệm "Quan sát đồ thị hàm số bậc hai"

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng tổng quát:

y=ax2+bx+c,(a≠0)y = ax^2 + bx + c, \quad (a \neq 0)

"Quan sát đồ thị hàm số bậc hai" là quá trình nhận diện, phân tích và rút ra các tính chất quan trọng của đồ thị (hình parabol) dựa trên các tham số aa,bb,cc. Từ đó, học sinh sẽ xác định được hình dạng, vị trí, trục đối xứng, đỉnh và giao điểm với các trục tọa độ.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Dạng tổng quát và hình dạng của đồ thị

Đồ thị hàm số y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + clà một parabol:

  • Nếua>0a > 0: Parabol hướng lên
  • Nếua<0a < 0: Parabol hướng xuống

    • b) Công thức xác định đỉnh parabol

    Tọa độ đỉnh:

    xv=−b2a,yv=f(xv)=a(−b2a)2+b(−b2a)+cx_\text{v} = -\frac{b}{2a}, \quad y_\text{v} = f(x_\text{v}) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c

    c) Trục đối xứng

    Phương trình:x=xv=−b2ax = x_\text{v} = -\frac{b}{2a}

    d) Giao điểm với trục tung

    Tung độ tạix=0x=0là y=cy=cnên đồ thị đi qua điểm(0;c)(0;c)

    e) Giao điểm với trục hoành (nghiệm phương trìnhax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0)

    Giải phương trìnhax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 để tìm hoành độ giao điểm.

    Ví dụ:

    Cho hàm số y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3

  • a = 1 > 0$nên parabol hướng lên.
  • Đỉnh:xv=42=2x_v = \frac{4}{2} = 2,yv=(2)2−4×2+3=4−8+3=−1y_v = (2)^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.
  • Trục đối xứng:x=2x = 2.
  • Giao với trục tung tại(0;3)(0;3).
  • Giao với trục hoành:x2−4x+3=0⇒x=1x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1hoặcx=3x = 3, vậy giao điểm lần lượt là (1;0)(1;0)và (3;0)(3;0).

    • Học sinh có thể phác hoạ parabol dựa trên các điểm đặc biệt này.

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • a)a>0a > 0: Đồ thị hướng lên,yminy_\text{min}tại đỉnh.
  • b)a<0a < 0: Đồ thị hướng xuống,ymaxy_\text{max}tại đỉnh.
  • c) Trường hợp hàm số không có nghiệm thực: Đồ thị không cắt trục hoành.
  • d) Khib=0b = 0: Đỉnh nằm trên trụcOyOy.
  • e) Khic=0c = 0: Đồ thị đi qua gốc tọa độ.

    • Học sinh chú ý các dấu hiệu này để nhận biết nhanh đặc điểm đồ thị.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • Phương trình bậc hai: Giao điểm đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình.
  • Cực trị: Đỉnh của parabol cũng chính là điểm cực trị của hàm số.
  • Bất phương trình bậc hai: Quan sát đồ thị giúp xác định khoảng nghiệm bất phương trình.

    • 6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài 1. Quan sát đồ thị hàm số y=−2x2+4x−3y = -2x^2 + 4x - 3và xác định các yếu tố chính:

  • a) Đỉnh:xv=−42×(−2)=1x_v = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1,yv=−2(1)2+4×1−3=−2+4−3=−1y_v = -2(1)^2 + 4 \times 1 - 3 = -2 + 4 - 3 = -1.
  • b) Trục đối xứng:x=1x = 1.
  • c) Giao trục tung:y=−3y = -3tạix=0x = 0.
  • d) Giao trục hoành:−2x2+4x−3=0⇒x2−2x+1.5=0-2x^2 + 4x - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1.5 = 0, giải ra hai nghiệm (có thể dùng công thức nghiệm tổng quát).

    • Bài 2. Vẽ đồ thị hàm số y=x2+2xy = x^2 + 2x.

  • a)a=1>0a = 1 > 0, parabol hướng lên.
  • b) Đỉnh:xv=−22=−1x_v = -\frac{2}{2} = -1,yv=(−1)2+2(−1)=1−2=−1y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1.
  • c) Đồ thị đi qua(0;0)(0;0)(giao trục tung).
  • d) Giao hoành tại:x2+2x=0⇒x(x+2)=0⇒x=0x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x=0hoặcx=−2x=-2

    • Học sinh nối các điểm đặc biệt trên để vẽ parabol.

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm dấu của tham số aa, dẫn đến vẽ sai chiều parabol.
  • Tính sai tọa độ đỉnh do sai công thức hoặc nhầm dấubb.
  • Không xác định đúng giao điểm với các trục do giải sai phương trình.
  • Lẫn lộn dấub2a\frac{b}{2a}giữa các trường hợpa>0a > 0và a<0a < 0.

    • Cách tránh: Kiểm tra lại dấu của từng hệ số, sử dụng công thức một cách cẩn thận và thử thay ngược lại vào hàm để xác nhận kết quả.

    8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + clà hàm số bậc hai có đồ thị là parabol.
  • Hệ số aaxác định chiều parabol:a>0a > 0hướng lên,a<0a < 0hướng xuống.
  • Tọa độ đỉnh(xv=−b2a,\yv=f(xv))\left(x_v = -\frac{b}{2a}, \y_v = f(x_v) \right).
  • Giao điểm với trục tung:(0;c)(0;c), giao trục hoành: nghiệmax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0.
  • Trục đối xứng:x=−b2ax = -\frac{b}{2a}.

    • Nắm vững việc quan sát đồ thị hàm số bậc hai sẽ giúp học sinh giải quyết nhanh nhiều bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình và cực trị trong chương trình Toán lớp 10.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".