Blog

Quan sát đồ thị hàm số bậc hai: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Khái niệm "Quan sát đồ thị hàm số bậc hai" là gì?

Hàm số bậc hai là một trong những hàm số quan trọng và nền tảng trong chương trình Toán lớp 10. Việc "quan sát đồ thị hàm số bậc hai" không chỉ giúp các em hiểu sâu về hình dạng, vị trí, tính chất của hàm số, mà còn là kỹ năng cần thiết trong giải các bài toán liên quan đến phương trình, bất phương trình bậc hai, cũng như ứng dụng thực tiễn trong đời sống. Đồ thị này còn là bước nối quan trọng giúp học sinh vững vàng khi tiếp cận các hàm số phức tạp hơn ở những lớp học sau.

2. Định nghĩa chính xác về đồ thị hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là:

Đồ thị của hàm số này là một Parabol nhận trụcOyOylàm trục đối xứng, nhận đỉnhy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + clà điểm cực trị (đỉnh) và hướng bầu lên (nếua>0a > 0) hoặc bầu xuống (nếua<0a < 0).

3. Hướng dẫn từng bước quan sát đồ thị hàm số bậc hai cùng ví dụ

Để nhận biết, phân tích đồ thị hàm số bậc hai, chúng ta thực hiện tuần tự các bước sau:

  • Bước 1: Xác định hệ số aa,bb,cc.
  • Bước 2: Xác định đỉnh của Parabol (x0x_0,y0y_0), theo công thức:
  • Bước 3: Xác định trục đối xứng:x=x0x = x_0.
  • Bước 4: Hướng bầu của Parabol: Nếua>0a>0parabol bầu lên, nếua<0a<0parabol bầu xuống.
  • Bước 5: Xác định giao điểm với trục tọa độ:
  • + Giao với trụcOyOy: Thayx=0x = 0vào hàm số đượcy=cy = c.
  • + Giao với trụcOxOx: Giải phương trìnhax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số y=2x24x+1y = 2x^2 - 4x + 1:

  • -a=2a = 2,b=4b = -4,c=1c = 1
  • - Đỉnh:x0=42×2=1x_0 = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1;y0=2×124×1+1=1y_0 = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = -1
  • - Trục đối xứng:x=1x = 1.
  • - Hướng bầu:a>0a > 0nên parabol bầu lên.
  • - GiaoOyOytạiy=c=1y = c = 1.
  • - Giao OxOx: 2x24x+1=0x=4±(4)24×2×12×2=4±224=1±222x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

  • - Nếub=0b = 0: Đỉnh nằm trên trụcOyOy.
  • - Nếuc=0c = 0: Đồ thị đi qua gốc tọa độ.
  • - NếuΔ=b24ac<0\Delta = b^2 - 4ac < 0: Đồ thị không cắt trụcOxOx.
  • - NếuΔ=0\Delta = 0: Đồ thị tiếp xúc trụcOxOxtại một điểm.
  • - Bảng biến thiên giúp xác định các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kỹ năng quan sát đồ thị hàm số bậc hai là nền tảng cho các kiến thức nâng cao như giải phương trình, bất phương trình bậc hai, khảo sát hàm bậc hai, đạo hàm, ứng dụng trong vật lý, kinh tế học. Ở các lớp trên, các bạn sẽ gặp nhiều hàm số khác như bậc ba, bậc bốn, logarit, mũ ..., trong đó đồ thị bậc hai là mẫu tham khảo quen thuộc.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Quan sát đồ thị hàm số y=x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.

  • Giải:
  • a=1a = -1,b=2b = 2,c=3c = 3
  • Đỉnh:x0=22×1=1x_0 = -\frac{2}{2 \times -1} = 1;
  • y0=(1)2+2×1+3=1+2+3=4y_0 = -(1)^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4
Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = 2x² - 4x + 1 với parabol, đánh dấu đỉnh tại (1, -1), các nghiệm và trục đối xứng x = 1
Đồ thị hàm số y = 2x² - 4x + 1 với parabol, đánh dấu đỉnh tại (1, -1), các nghiệm và trục đối xứng x = 1
  • Trục đối xứng:x=1x = 1
  • Hướng bầu:a<0a < 0nên parabol bầu xuống
  • GiaoOyOy:y=3y = 3khix=0x = 0
  • GiaoOxOx:x2+2x+3=0x22x3=0x=1;3-x^2 + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = -1; 3.

=> Đồ thị là một parabol bầu xuống, đỉnh tại(1,4)(1,4), cắtOyOytại(0,3)(0,3), cắtOxOxtại(1,0)(-1,0)(3,0)(3,0).

Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y=x2y = x^2và xác định các yếu tố đặc trưng.

  • a=1a = 1,b=0b = 0,c=0c = 0
  • Đỉnh:x0=0x_0 = 0;y0=0y_0 = 0
  • Trục đối xứng:x=0x = 0(trùngOyOy)
  • Hướng bầu lên (a>0a>0)
  • Giao gốc tọa độ (0,0)(0,0)

=> Đây là parabol cơ bản, nhậnOOlàm đỉnh, trục đối xứngOyOy.

7. Lỗi thường gặp khi quan sát đồ thị hàm số bậc hai và cách tránh

  • - Nhầm lẫn dấu của hệ số aa, dẫn đến xác định sai hướng bầu của parabol.
  • - Không xác định đúng đỉnh parabol (tính saix0,y0x_0, y_0).
  • - Bỏ qua trường hợp không có giao điểm với trụcOxOx(khiΔ<0\Delta < 0).
  • - Quên xác định giao điểm với trụcOyOy.
  • - Không phân biệt được các yếu tố đặc trưng của đồ thị.

Để tránh các lỗi này, cần theo dõi kỹ từng bước, kiểm tra lại các phép tính, và luyện tập nhiều bài tập đa dạng.

8. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Đồ thị hàm số bậc haiy=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + clà một parabol, đỉnh tại(b2a,f(b2a))(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a})).
  • Bạn cần nhận diện đúng đặc điểm: hướng bầu, đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với trục tọa độ.
  • Quan sát đồ thị không chỉ để vẽ mà còn dùng trong giải toán, ứng dụng trong thực tiễn và là nền tảng cho Đại số, Giải tích các lớp sau.
  • Luyện tập thường xuyên với các bài toán cụ thể sẽ giúp thành thạo và tránh sai sót.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".