1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Sơ đồ cây” là một khái niệm cơ bản, xuất hiện đầu tiên trong chương trình Toán lớp 10, đặc biệt trong bài học về Xác suất – không gian mẫu – biến cố. Sơ đồ cây giúp học sinh giải quyết dễ dàng các bài toán liệt kê, xác định không gian mẫu và tính xác suất. Việc hiểu rõ khái niệm này sẽ giúp bạn tư duy logic, hệ thống trong giải quyết các bài toán tổ hợp và xác suất.

• Hiểu vững Sơ đồ cây giúp giải nhanh bài toán liệt kê, xác suất và biến cố.
• Ứng dụng thực tế như dự đoán kết quả, tính toán xác suất khi chơi trò chơi, bầu chọn, rút thăm, ...
• Rèn luyện tư duy hệ thống, trình bày logic và kiểm tra tính đầy đủ các trường hợp.
• Bạn có thể luyện tập miễn phí với 38.208+ bài tập Sơ đồ cây ngay dưới phần Luyện tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Sơ đồ cây là một cách biểu diễn trực quan quy trình lựa chọn, hoặc các bước thực hiện của một phép thử dạng nhiều giai đoạn, sử dụng hình ảnh các nhánh để liệt kê mọi khả năng xảy ra.

• Mỗi nhánh (cành) của sơ đồ thể hiện một sự lựa chọn. Một đường đi từ gốc đến lá thể hiện một kết quả cuối cùng của phép thử (một phần tử trong không gian mẫu).

• Hai định lý quan trọng:

• Nguyên lý cộng: Tổng số trường hợp bằng tổng các khả năng của từng nhánh không giao nhau.
• Nguyên lý nhân: Tổng số trường hợp bằng tích các khả năng của từng giai đoạn (từng cấp trên cây).

• Sơ đồ cây phù hợp cho bài toán gồm nhiều bước với mỗi bước có nhiều khả năng khác nhau. Không nên dùng khi số trường hợp quá lớn, cây sẽ rất rườm rà.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức thường dùng:

• Tổng số kết quả:$n_1 \times n_2 \times \cdot s \times n_k$(nếu phép thử gồm$k$giai đoạn;$n_i$là số lựa chọn ở giai đoạn$i$).
• Công thức xác suất: Nếu tất cả kết quả đều khả năng như nhau, xác suất một biến cố $A$là $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$($|A|$là số trường hợp thuận lợi,$|\Omega|$là số phần tử của không gian mẫu).

Cách ghi nhớ: hãy luyện tập vẽ sơ đồ cây để hình dung rõ từng bước, phân nhánh và đếm kết quả.

Chỉ dùng sơ đồ cây với số lượng biến cố/vòng chọn vừa phải, tránh quá rắc rối.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tung một đồng xu hai lần. Hỏi có bao nhiêu kết quả tất cả?

Bước 1: Vẽ sơ đồ cây.
- Lần 1: Có 2 khả năng: Sấp (S), Ngửa (N)
- Với mỗi khả năng, lần 2 lại có 2 khả năng: S, N
Kết quả sơ đồ cây gồm 4 đường đi: SS, SN, NS, NN.

Tổng số kết quả:$2 \times 2 = 4$.

Lưu ý: mỗi nhánh thể hiện một lựa chọn, mỗi đường đi là một kết quả.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Từ hộp có 2 bi đỏ (R) và 1 bi xanh (B), lấy ra lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Tìm tất cả các kết quả và xác suất rút được 2 bi cùng màu.

Bước 1: Vẽ sơ đồ cây:
- Lần 1: Rút R hoặc B.
- Nếu lần 1 rút R, lần 2 lấy tiếp R hoặc B.
- Nếu lần 1 rút B, lần 2 chỉ lấy được R.
Các trường hợp: RR, RB, BR.

Bước 2: Tính xác suất:
- Tổng số kết quả: 3.
- Số kết quả lấy 2 bi cùng màu: chỉ có RR.
- Vậy$P = \frac{1}{3}$.

Kỹ thuật giải nhanh: Vẽ nháp sơ đồ cây, kiểm tra nhánh để tránh sót trường hợp.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu các lựa chọn phụ thuộc vào những giai đoạn trước, sơ đồ cây giúp theo dõi mối quan hệ phụ thuộc này.

• Một số bài có thể tối ưu sơ đồ cây bằng “rút gọn nhánh trùng”, hoặc chỉ liệt kê kết quả cần thiết.

• Sơ đồ cây liên quan chặt chẽ với các khái niệm: không gian mẫu, biến cố, xác suất, nguyên lý cộng và nguyên lý nhân.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Hiểu nhầm: Nghĩ sơ đồ cây chỉ dùng cho tổ hợp không lặp hoặc cho mọi bài toán.
• Nhầm lẫn với bảng liệt kê hay bảng chân lý.
• Sai về các nhánh – luôn kiểm tra mỗi nhánh là một lựa chọn độc lập.

Cách phân biệt: Sơ đồ cây là hướng đi từ gốc tới lá, mỗi đường đi là một kết quả cụ thể.

5.2 Lỗi về tính toán

• Kẻ thiếu nhánh, trùng nhánh hoặc đếm nhầm tổng số đường đi.
• Áp dụng sai nguyên lý nhân/cộng khi các lựa chọn không độc lập.
• Không chia nhỏ trường hợp đặc biệt (các nhánh phụ thuộc lẫn nhau).

Kiểm tra kết quả: Tổng số đường đi trên sơ đồ cây phải bằng tổng số phần tử không gian mẫu.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập ngay 38.208+ bài tập Sơ đồ cây miễn phí tại mục 'Luyện tập'.
- Không cần đăng ký. Luyện tập bao nhiêu tùy ý.
- Theo dõi tiến độ, kiểm tra kỹ năng từng bài và làm lại dễ dàng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Sơ đồ cây là công cụ trực quan, liệt kê đầy đủ các kết quả có thể xảy ra của phép thử nhiều giai đoạn.

- Kiểm tra các đường đi, nhánh và tổng số kết quả rất dễ dàng bằng sơ đồ cây; nhớ kiểm tra kỹ tránh nhầm lẫn.

• Nhớ nguyên lý nhân và nguyên lý cộng.
• Vẽ cây trước khi liệt kê kết quả giúp tránh sót trường hợp.
• Học thuộc các công thức, luyện tập thường xuyên để nhớ lâu.

Checklist kiến thức:

• Hiểu đúng định nghĩa Sơ đồ cây
• Phân biệt sơ đồ cây với các phương pháp liệt kê khác
• Vận dụng linh hoạt nguyên lý nhân và cộng
• Kiểm tra số trường hợp qua cây

Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày luyện ít nhất 5 bài sơ đồ cây, kiểm tra sai ở đâu, ôn lại lý thuyết tương ứng và làm lại.