Blog

Thiết kế cống chào hình parabol: Khái niệm, ứng dụng và hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về "Thiết kế cống chào hình parabol" và tầm quan trọng trong toán học

Trong chương trình Toán lớp 10, việc vận dụng kiến thức vào thực tiễn luôn được khuyến khích giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất toán học và ứng dụng của nó. "Thiết kế cống chào hình parabol" là một chủ đề tiêu biểu, minh họa rõ ràng sự kết nối giữa lý thuyết hàm bậc hai (parabol) và các bài toán thực tế, đặc biệt trong xây dựng và kỹ thuật.

Dạng toán này không chỉ tăng khả năng vận dụng lý thuyết vào thiết kế mô hình thực tiễn mà còn rèn luyện tư duy hình học, biểu diễn hàm số, giải phương trình bậc hai, tìm tham số hàm số parabol... Những kỹ năng này rất hữu ích cho học sinh khi học các chương trình tiếp theo, đặc biệt là trong các ngành học có ứng dụng toán học.

2. Định nghĩa chính xác về thiết kế cống chào hình parabol

"Thiết kế cống chào hình parabol" là việc sử dụng đồ thị hàm số bậc hai (có đồ thị là parabol) để mô phỏng hoặc xây dựng các kiến trúc có mái vòm hình parabol, ví dụ như hầm, cổng chào, cầu, hoặc cống nước. Thông thường, bài toán đưa ra là: cho trước các điều kiện (điểm đỉnh, chiều rộng đáy, chiều cao, v.v.), hãy xác định phương trình parabol mô tả hình dạng của cống chào đó.

3. Giải thích chi tiết cách giải thiết kế cống chào hình parabol (có ví dụ minh họa)

Giả sử ta cần thiết kế một cống chào với hình dạng là phần của parabol. Đề bài: Cống chào có chiều rộng đáy là 8 m8\ \text{m}, chiều cao tại đỉnh là 4 m4\ \text{m}. Tìm phương trình parabol mô tả hình dạng phần vòm cổng này (biết đáy nằm trên trục hoành, đỉnh ở trục tung, gốc tọa độ là tâm của đáy cổng).

Bước 1: Lập hệ trục tọa độ

- Gốc O (0;0) là điểm giữa của đáy cống.
- Đỉnh parabol là điểm(0;4)(0;4)(theo chiều cao cổng).
- Hai chân cổng là (4;0)(-4;0)(4;0)(4;0)(vì chiều rộng đáy là 8 m8\ \text{m}, lấy đều hai bên gốc O).

Bước 2: Chọn dạng phương trình parabol

Dạng tổng quát:y=ax2+bx+cy = a x^2 + b x + c
Vì trục đối xứng trùng trục tung, b = 0. Vì đáy ở y=0y = 0, c = 0 (nếu lấy chân đáy làm gốc).
Vậy:y=ax2+4y = a x^2 + 4(nếu chọn đỉnh làm gốc), nhưng thường chọny=ax2+cy = a x^2 + c.
Ở đây chọn:y=ax2+4y = a x^2 + 4(do đỉnh ở (0;4)),
vớia<0a < 0vì parabol quay xuống dưới.

Bước 3: Thay chân đáy vào tínhaa

Hai chân đáy(4;0)(-4;0),(4;0)(4;0) đều đi qua parabol, thayx=4x = 4,y=0y = 0vào:

<br/>0=a42+416a+4=0a=14<br/><br />0 = a \cdot 4^2 + 4 \Longleftrightarrow 16a + 4 = 0 \Longleftrightarrow a = -\frac{1}{4}<br />

Vậy phương trình cống chào là:
<br/>y=14x2+4<br/><br />y = -\frac{1}{4} x^2 + 4<br />

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu cống lệch đỉnh (đỉnh không nằm trên trục tung), trục đối xứng của parabol không trùng O, cần xác định hoành độ đỉnh.
- Nếu không lấy gốc tọa độ ở giữa đáy, cần xác định lại vị trí các điểm theo trục mới.
- Luôn chú ý parabol thường quay xuống khi dùng cho vòm (hệ số a<0a < 0).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Thiết kế cống chào hình parabol là ứng dụng trực tiếp của kiến thức về hàm số bậc hai, đồ thị parabol và phương trình bậc hai.
- Liên hệ với giải bài toán phương trình theo tham số.
- Vận dụng tính đối xứng, xác định đỉnh, trục đối xứng parabol.
- Liên quan đến hình học tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm, dựng đồ thị trên phần mềm như GeoGebra...

Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = -1/5(x-2)^2 + 5 với đỉnh tại (2;5), giao điểm với trục hoành tại (-3;0) và (7;0), trục đối xứng x=2 và chiều rộng đáy 10 đơn vị
Đồ thị hàm số y = -1/5(x-2)^2 + 5 với đỉnh tại (2;5), giao điểm với trục hoành tại (-3;0) và (7;0), trục đối xứng x=2 và chiều rộng đáy 10 đơn vị
Hình minh họa: Đồ thị hàm số bậc hai y = -\u215b x² + 4, minh họa đỉnh tại (0, 4) và hai giao điểm với trục Ox tại (-4, 0) và (4, 0)
Đồ thị hàm số bậc hai y = -\u215b x² + 4, minh họa đỉnh tại (0, 4) và hai giao điểm với trục Ox tại (-4, 0) và (4, 0)
Hình minh họa: Đồ thị parabol y = -1/3 x² + 3, đánh dấu đỉnh tại (0, 3) và hai giao điểm với Ox tại (-3, 0) và (3, 0)
Đồ thị parabol y = -1/3 x² + 3, đánh dấu đỉnh tại (0, 3) và hai giao điểm với Ox tại (-3, 0) và (3, 0)

6. Bài tập mẫu (có lời giải chi tiết)

Bài tập 1:
Thiết kế một cống chào có chiều rộng đáy là 6 m, chiều cao tại đỉnh là 3 m. Lập phương trình parabol mô tả hình dạng cổng, biết đáy nằm trên trục hoành, tâm đáy là gốc tọa độ.

Giải:
- Đỉnh parabol:(0;3)(0;3)
- Hai chân:(3;0)(-3;0),(3;0)(3;0)

Dạng phương trình:y=ax2+3y = a x^2 + 3
Thay:x=3x = 3,y=0y = 0
<br/>0=a9+39a=3a=13<br/><br />0 = a \cdot 9 + 3 \Longleftrightarrow 9a = -3 \Longleftrightarrow a = -\frac{1}{3}<br />
Vậy phương trình:
<br/>y=13x2+3<br/><br />y = -\frac{1}{3} x^2 + 3<br />

Bài tập 2:
Một cổng hình parabol có chiều rộng đáy 10 m, chiều cao tại đỉnh 5 m. Tuy nhiên, đỉnh cổng không nằm ở gốc tọa độ mà nằm tại(2;5)(2;5). Hãy lập phương trình parabol dạngy=a(xh)2+ky = a (x - h)^2 + k.

Giải:
- Đỉnh:(2;5)(2;5)
- Hai chân: Dùng tính đối xứng so vớix=2x=2, chiều rộng đáy10 10\ \rightarrowtừ x=25=3x=2-5= -3 đếnx=2+5=7x=2+5=7
Phương trình:y=a(x2)2+5y = a (x-2)^2 + 5
Thayx=3x = -3,y=0y = 0:
<br/>0=a(32)2+5a25+5=0a=15<br/><br />0 = a (-3-2)^2 + 5 \Rightarrow a \cdot 25 + 5 = 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{5}<br />
Vậy đáp số:
<br/>y=15(x2)2+5<br/><br />y = -\frac{1}{5}(x-2)^2 + 5<br />

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Đặt sai hệ trục tọa độ, dẫn đến tính sai tọa độ các điểm cần thiết.
- Quên xác định dấu của hệ số aa(dùnga>0a>0khiến parabol quay lên, sai mô tả).
- Nhầm lẫn giữa khoảng cách hai chân và hoành độ các chân đáy.
- Không kiểm tra xem các điểm đặc biệt (đỉnh, chân) đã thực sự thoả mãn phương trình chưa.

8. Tóm tắt – Những điểm chính cần nhớ

- Thiết kế cống chào hình parabol là ứng dụng thực tiễn của đồ thị hàm số bậc hai trong xây dựng.
- Xác định đúng hệ trục tọa độ, đỉnh và chân đáy giúp xác định đúng phương trình.
- Kỹ năng quan trọng: tìm tham số aakhi biết các điểm đi qua parabol.
- Dùng các kiến thức về đồ thị, phương trình, hàm số để mô hình hóa thực tế dễ dàng.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".