Giới thiệu: Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là gì?

Trong chương trình toán học lớp 10, "tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng" là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng của phần hình học phẳng. Việc hiểu và vận dụng tốt khái niệm này không chỉ giúp học sinh giải các dạng bài tập trong SGK, ôn luyện thi mà còn phát triển kỹ năng tư duy hình học, hỗ trợ học các nội dung liên quan như tọa độ, véc-tơ hoặc giải bài toán thực tiễn.

1. Định nghĩa toán học: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm$A$ đến đường thẳng$d$là độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ $A$ đến$d$.

Nếu đường thẳng$d$có phương trình tổng quát$Ax + By + C = 0$và điểm$M(x_0; y_0)$, thì khoảng cách$d$từ $M$ đến$d$ được xác định bởi công thức:

$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

2. Các bước tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng qua ví dụ

Ví dụ 1: Cho điểm$A(1;2)$và đường thẳng$d: 3x - 4y + 5 = 0$. Tìm khoảng cách từ $A$ đến$d$.

Bước 1: Xác định các hệ số:
-$A = 3; B = -4; C = 5$
-$x_0 = 1; y_0 = 2$

Bước 2: Thay vào công thức:

$<br />d = \frac{|3 \times 1 + (-4) \times 2 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 5|}{\sqrt{9+16}} = \frac{0}{5} = 0<br />$

Nhận xét: Trong trường hợp này, điểm$A$nằm trên đường thẳng$d$nên khoảng cách bằng$0$.

Ví dụ 2: Tìm khoảng cách từ điểm$B(2;3)$ đến đường thẳng$d: x + 2y - 2 = 0$.

-$A = 1; B = 2; C = -2$
-$x_0 = 2; y_0 = 3$

Thay vào công thức:

$<br />d = \frac{|1 \times 2 + 2 \times 3 - 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 6 - 2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \approx 2{,}68<br />$

3. Một số trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì khoảng cách bằng$0$.
• Luôn lấy giá trị tuyệt đối ở tử số để khoảng cách là số không âm.
• Đường thẳng phải viết dưới dạng tổng quát$Ax + By + C = 0$. Nếu cho dưới dạng khác (hệ số tự do ở vế phải), phải chuyển về dạng này.
• Hệ số $A$, $B$trong công thức là hệ số của$x$và $y$trên cùng một vế, không lấy trị tuyệt đối trong biểu thức$<br>\sqrt{A^2 + B^2}$.
• Có thể áp dụng cả khi$A$hoặc$B$bằng$0$(đường thẳng song song với trục$Ox$hoặc$Oy$).

4. Mối liên hệ của khái niệm này với các chủ đề toán học khác

- Kiến thức này liên quan chặt chẽ đến khái niệm véc-tơ, hình chiếu vuông góc, khoảng cách giữa hai điểm, và cách dùng tọa độ trong hình học.
- Cũng là nền tảng cho các bài toán liên quan đến phương trình đường tròn, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, số đo hình học trong không gian.

5. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho điểm$C(-1;4)$và đường thẳng$d: 2x - 3y + 6 = 0$. Tính khoảng cách từ $C$ đến$d$.

-$A = 2$,$B = -3$,$C = 6$,$x_0 = -1$,$y_0 = 4$.

$<br />d = \frac{|2 \times (-1) + (-3) \times 4 + 6|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 - 12 + 6|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{8}{\sqrt{13}} \approx 2{,}22<br />$

Bài tập 2: Cho điểm$D(0;-2)$và đường thẳng$d': y = 3$.

Viết lại$d'$dưới dạng tổng quát:$y - 3 = 0$($A=0; B=1; C=-3$).

Thay vào công thức:

$<br />d = \frac{|0 \times 0 + 1 \times (-2) - 3|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{| -2 - 3|}{1} = 5<br />$

6. Những lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên chuyển phương trình về dạng tổng quát$Ax + By + C = 0$trước khi áp dụng công thức.
• Không lấy giá trị tuyệt đối ở tử số dẫn đến kết quả âm.
• Nhầm lẫn các hệ số $A$,$B$,$C$của đường thẳng với tọa độ điểm.
• Tính sai $<br>\sqrt{A^2+B^2}$ (ví dụ, quên lấy căn bậc hai hoặc cộng nhầm dấu).

7. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc từ điểm đó tới đường thẳng.
- Sử dụng công thức: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$cho$d: Ax + By + C = 0$và điểm$M(x_0, y_0)$.
- Luôn kiểm tra lại dạng phương trình, dấu căn, giá trị tuyệt đối và các phép tính.
- Ôn tập khái niệm này giúp vững vàng hình học phẳng và nhiều lĩnh vực toán học cao hơn.