Giải thích chi tiết về Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Toán lớp 10

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm$M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$d: Ax + By + C = 0$là độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ điểm$M$ đến đường thẳng$d$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, mọi đường thẳng đều có thể đưa về dạng tổng quát$Ax + By + C = 0$với$A, B$không đồng thời bằng 0.

Khoảng cách này còn là độ lớn nhỏ nhất từ điểm$M$ đến mọi điểm nằm trên đường thẳng$d$.

Công thức cần nhớ: Khoảng cách từ điểm$M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$d: Ax + By + C = 0$là:

$d(M, d) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Mẹo ghi nhớ: Tử số là giá trị tuyệt đối của bài toán thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng, mẫu số là căn bậc hai tổng bình phương hai hệ số $A$,$B$.

Điều kiện: Chỉ áp dụng khi phương trình đường thẳng đã viết dưới dạng tổng quát$Ax + By + C = 0$.

Biến thể: Nếu đường thẳng có dạng tham số hoặc dạng khác, cần chuyển về tổng quát trước khi áp dụng công thức trên.

Bước 1: Xác định các hệ số $A = 3$,$B = -4$,$C = 5$, tọa độ điểm$x_0 = 1$,$y_0 = 2$.

Bước 2: Thay vào công thức:

$d(M, d) = \frac{|3 \times 1 - 4 \times 2 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{0}{5} = 0$

Kết luận: Điểm$M$nằm trên đường thẳng, nên khoảng cách là 0.

Lưu ý: Nếu kết quả tử số là 0, nghĩa là điểm$M$thuộc luôn đường thẳng$d$!

Thay vào công thức:

$d(N, d) = \frac{|2 + 2(-1) - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 -2 -3|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Kỹ thuật giải nhanh: Luôn nhớ thay đúng dấu các hệ số và giữ giá trị tuyệt đối ở tử số.

Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng khác (tham số, đoạn chắn...), cần chuyển sang dạng$Ax + By + C = 0$rồi mới áp dụng công thức.

Độ lớn khoảng cách luôn là số không âm.

Có thể gặp trường hợp điểm$M$thuộc đường thẳng (khoảng cách = 0).

Nhầm lẫn công thức khi đường thẳng chưa chuyển về dạng chính tắc$Ax + By + C = 0$.

Nhầm lẫn giữa khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ hay đến đoạn thẳng.

Cách kiểm tra: Thay tọa độ điểm vào phương trình, nếu tử số bằng 0 thì điểm thuộc đường thẳng.

Sai dấu hoặc quên giá trị tuyệt đối ở tử số.

Nhầm giữa các hệ số $A$,$B$hoặc nhầm phép nhân/toán tử.

Phương pháp kiểm tra kết quả: Khi đã thay số xong, hãy ước lượng xem khoảng cách có hợp lý không (không bao giờ âm!) và kiểm tra lại phép tính căn bậc hai.

Công thức khoảng cách từ điểm$M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$d: Ax + By + C = 0$:

$d(M, d) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Luôn chuyển đường thẳng về dạng tổng quát trước khi áp dụng công thức.

Kiểm tra lại phép thế số, tuyệt đối không được bỏ qua dấu giá trị tuyệt đối ở tử số.

Lập kế hoạch luyện tập và ôn lại kiến thức đều đặn để nâng cao kỹ năng.

Checklist trước khi làm bài: Xác định đúng dạng phương trình đường thẳng, xác định đúng tọa độ điểm, thay số cẩn thận, tính toán chính xác.