1. Giới thiệu về phép nhân số với vectơ và tầm quan trọng trong toán học lớp 10

Trong chương trình Toán lớp 10, khái niệm phép nhân số với vectơ giữ vai trò trọng tâm trong phần Hình học. Hiểu rõ về phép nhân giúp học sinh dễ dàng biểu diễn các phép biến đổi vectơ, xét hình học phẳng, cũng như nền tảng cho các chủ đề hình học không gian, giải tích vectơ sau này. Tính chất của phép nhân số với vectơ là phần kiến thức then chốt mà học sinh cần nắm vững để làm chủ các dạng bài tập và vận dụng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác về phép nhân số với vectơ

Cho vectơ $\vec{a}$và số thực$k$. Khi đó, tích$k\vec{a}$là vectơ thoả mãn:

• Tồn tại một vectơ $\vec{a}$khác$\vec{0}$,$k\vec{a}$cùng phương (hoặc ngược phương nếu$k<0$) với$\vec{a}$.
• Tỉ số độ dài:$|k\vec{a}| = |k|.|\frac{a}|$.
• Nếu$k=0$hay$\vec{a} = \vec{0}$thì $k\vec{a} = \vec{0}$.

Nói cách khác: phép nhân một vectơ với một số thực là thao tác "kéo dài" hoặc "rút ngắn" vectơ ban đầu theo một hệ số về độ dài và có thể đổi chiều (nếu số đó âm).

3. Phân tích chi tiết và ví dụ minh họa

Giả sử $\vec{a}$là vectơ không phải là vectơ không,$k$là số thực.

• Nếu$k > 0$: Vectơ $k\vec{a}$cùng hướng với$\vec{a}$, độ dài$|k\vec{a}| = k|\vec{a}|$.
• Nếu$k < 0$: Vectơ $k\vec{a}$ngược hướng với$\vec{a}$, độ dài$|k\vec{a}| = |k||\vec{a}|$.
• Nếu$k = 0$hoặc$\vec{a} = \vec{0}$:$k\vec{a} = \vec{0}$.

Ví dụ 1:
Cho$\vec{a}$là vectơ có độ dài$3$đơn vị. Tính độ dài và hướng của các vectơ$2\vec{a}$,$-1.5\vec{a}$,$0\vec{a}$.

-$2\vec{a}$có độ dài$|2\vec{a}| = 2 \times 3 = 6$cùng hướng với$\vec{a}$.
-$-1.5\vec{a}$có độ dài$|-1.5|\times 3 = 4.5$nhưng ngược hướng với$\vec{a}$.
-$0\vec{a} = \vec{0}$(vectơ không).

Ví dụ 2:
Cho $\vec{a} = (2; 5)$và $k = -3$. Khi đó:
$k\vec{a} = -3\vec{a} = (-3×2; -3×5) = (-6; -15)$
Vậy $-3\vec{a}$là vectơ có độ dài$\sqrt{(-6)^2 + (-15)^2} = \sqrt{36 + 225} = \sqrt{261}$, ngược hướng với $\vec{a}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Khi$k = 1$thì $1\vec{a} = \vec{a}$.
• Khi$k = -1$thì $-\vec{a}$là vectơ cùng phương, ngược hướng và bằng độ dài với$\vec{a}$.
• Khi$k = 0$hoặc$\vec{a} = \vec{0}$thì kết quả là vectơ không.
• Thay đổi$k$chỉ ảnh hưởng đến độ dài và hướng, không thay đổi phương (đường thẳng mang vectơ).
• Với$k > 0$,$k\vec{a}$chỉ “kéo dài” hoặc “thu ngắn”.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Phép nhân số với vectơ là cơ sở cho các phép toán vectơ phức tạp hơn như: tích vô hướng, tích vectơ (ở lớp cao hơn).
- Dẫn tới khái niệm tổ hợp tuyến tính:$k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$.
- Liên quan chặt chẽ đến hệ trục tọa độ và quy tắc hình bình hành trong cộng và nhân vectơ.
- Dễ dàng biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép tịnh tiến, phép co dãn.
- Là nền tảng để tiếp cận các bài toán vật lý (chuyển động, lực...).

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$\vec{b} = (3; 4)$. Tính$-2\vec{b}$và độ dài của$-2\vec{b}$.

Lời giải:
$-2\vec{b} = (-2 \times 3; -2 \times 4) = (-6; -8)$
Độ dài: $\sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Bài 2:
Cho$\vec{a}$, biết$|\vec{a}| = 2$. Hỏi$|5\vec{a}|$và $|-0.5\vec{a}|$là bao nhiêu?

Lời giải:
$|5\vec{a}| = 5 \times 2 = 10$
$|-0.5\vec{a}| = 0.5 \times 2 = 1$

Bài 3:
Chứng minh rằng$\vec{a}$và $k\vec{a}$luôn cùng hoặc ngược hướng với nhau.

Lời giải:
Theo định nghĩa,$k\vec{a}$luôn cùng phương với$\vec{a}$. Nếu$k > 0$, cùng hướng; nếu$k < 0$, ngược hướng.

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên đổi hướng khi nhân số âm:$k < 0 \implies k\vec{a}$ngược hướng với$\vec{a}$.
• Sai lầm khi tính độ dài:$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, không phải$k |\vec{a}|$tuyệt đối với mọi$k$.
• Nhầm lẫn khi nhân vectơ không: bất cứ số nào nhân với$\vec{0}$đều là$\vec{0}$.
• Lộn chiều khi vẽ hình: luôn xác định hướng trước khi vẽ $k\vec{a}$.

8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

- Nhân vectơ với số $k$sẽ thay đổi độ dài và hướng của vectơ tuỳ theo dấu và giá trị của$k$.
- Nếu$k > 0$,$k\vec{a}$cùng hướng với$\vec{a}$; nếu$k < 0$,$k\vec{a}$ngược hướng với$\vec{a}$.
- Độ dài$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
-$k\vec{a}$và $\vec{a}$luôn cùng phương.
- Các sai sót chủ yếu liên quan đến xác định hướng và độ dài khi nhân số âm hoặc tính toán độ dài.
- Kiến thức này quan trọng để làm việc với vectơ trong hình học, vật lý và nhiều môn học khác.