1. Giới thiệu về tích vô hướng và vai trò trong chương trình Toán lớp 10

Trong hình học và đại số vector, tích vô hướng là một khái niệm quan trọng, xuất hiện xuyên suốt các bài toán về hình học không gian, hình học phẳng và ứng dụng trong vật lý, kĩ thuật. Đối với học sinh lớp 10, nắm vững tính chất của tích vô hướng không chỉ giúp giải nhanh các bài toán vector mà còn phát triển tư duy hình học và kỹ năng giải quyết vấn đề logic.

2. Định nghĩa chính xác về tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vector$\vec{a}$và $\vec{b}$trong không gian được định nghĩa là:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta$

trong đó $|\vec{a}|$,$|\vec{b}|$là độ dài của các vector,$\theta$là góc giữa hai vector$\vec{a}$và $\vec{b}$($0 \leq \theta \leq 180^\circ$).

3. Các tính chất cơ bản của tích vô hướng

Tích vô hướng có một số tính chất quan trọng mà học sinh lớp 10 cần ghi nhớ và vận dụng thành thạo:

(a) Tính giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$

(b) Tính phân phối với phép cộng: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$

(c) Tích vô hướng với vector không: $\vec{a} \cdot \vec{0} = 0$

(d) Nhân với số thực: $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$với$k$là số thực.

(e) Tích vô hướng của một vector với chính nó:$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

4. Hướng dẫn chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2, 3)$,$\vec{b} = (4, -1)$. Tính$\vec{a} \cdot \vec{b}$và kiểm tra tính chất giao hoán.

Giải:

Áp dụng công thức tích vô hướng trong tọa độ:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$

Vậy:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$

Tương tự, ta cũng có $\vec{b} \cdot \vec{a} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 8 - 3 = 5$.

Điều này chứng tỏ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$– tức tính chất giao hoán đã được kiểm chứng.

Ví dụ 2: Cho$\vec{a} = (1,2)$,$\vec{b} = (3,4)$,$\vec{c} = (5,6)$. Tính$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$và so sánh với$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.

Tính$\vec{b} + \vec{c} = (3+5, 4+6) = (8, 10)$. Khi đó:

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 1 \cdot 8 + 2 \cdot 10 = 8 + 20 = 28$

Tính$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$

Tính$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 = 5 + 12 = 17$

Cộng lại:$11 + 17 = 28$. Vì vậy,$\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$, xác nhận tính chất phân phối.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu hai vector cùng phương (hoặc ngược phương), tức$\theta = 0^\circ$hoặc$180^\circ$, thì $\cos \theta = \pm 1$. Khi đó:$\vec{a} \cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

- Nếu hai vector vuông góc,$\theta = 90^\circ$,$\cos 90^\circ = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

- Tích vô hướng luôn là số (không phải là vector).

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tích vô hướng có vai trò đặc biệt trong các chủ đề sau:

• Tính góc giữa hai vector:$\cos \theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$
• Chứng minh hai vector vuông góc:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
• Tính độ dài hình chiếu, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng…

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{a} = (3,4)$,$\vec{b} = (4,3)$. Tính góc giữa hai vector.

Giải:

Tích vô hướng:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 4 + 4 \times 3 = 12 + 12 = 24$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2+4^2} = 5$, $|\vec{b}| = \sqrt{4^2+3^2} = 5$

$\cos \theta = \dfrac{24}{5 \times 5} = \dfrac{24}{25} \approx 0{,}96$.

Bài tập 2: Chứng minh ba điểm$A(0,0)$,$B(1,2)$,$C(3,8)$thẳng hàng.

Giải:

Tính$\vec{AB} = (1,2)$,$\vec{AC} = (3,8)$. Hai vector cùng phương nếu$\vec{AB} \cdot (\vec{AC} - k\vec{AB}) = 0, \forall k$. Thấy ngay$\vec{AC} = 3\vec{AB}$nên chúng cùng phương và ba điểm thẳng hàng.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích vô hướng với phép nhân vector – nhớ tích vô hướng là số, không phải vector.
• Quên tính đúng thành phần hoành độ - tung độ trong tọa độ.
• Lỗi nhập sai dấu trừ khi nhân các thành phần.
• Sai khi xác định góc giữa hai vector, đặc biệt khi hai vector ngược chiều ($\theta = 180^\circ$).

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Tích vô hướng giúp tính nhanh góc, chứng minh vuông góc, song song, thẳng hàng…
• Nắm chắc các tính chất giao hoán, phân phối, tích với số thực, với vector không.
• Áp dụng đúng công thức tích vô hướng trong tọa độ:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2$.
• Luôn kiểm tra kỹ từng bước tính toán để tránh sai sót.