Tính chất của tích vô hướng - Lý thuyết, ví dụ và bài tập chi tiết lớp 10

1. Giới thiệu về tích vô hướng và vai trò trong Toán học lớp 10

Tích vô hướng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt thường gặp ở chương trình Toán học lớp 10. Việc hiểu và vận dụng đúng tính chất của tích vô hướng không chỉ giúp giải quyết các bài toán liên quan đến hình học, mà còn đặt nền tảng cho nhiều lĩnh vực toán học nâng cao về sau như vật lý, đại số tuyến tính, hình học giải tích.

2. Định nghĩa tích vô hướng hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$và $\vec{b}$trong không gian hoặc trên mặt phẳng, tích vô hướng của chúng, ký hiệu$\vec{a} \cdot \vec{b}$(hoặc$\vec{a}\vec{b}$), được định nghĩa như sau:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\varphi}$

Trong đó:

Nhờ định nghĩa này, tích vô hướng thường được dùng để tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra hai vectơ vuông góc, song song, và ứng dụng vào các bài toán hình học thực tế.

3. Các tính chất cơ bản của tích vô hướng

Các tính chất sau cực kỳ quan trọng khi áp dụng tích vô hướng trong giải toán:

Các tính chất này là cơ sở cho hầu hết các phép biến đổi và chứng minh liên quan đến tích vô hướng.

4. Giải thích từng tính chất với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính chất giao hoán

Cho hai vectơ $\vec{a} = (2;3)$và $\vec{b} = (4;1)$. Khi đó:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$

$\vec{b} \cdot \vec{a} = 4 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 8 + 3 = 11$

Như vậy,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Ví dụ 2: Tính chất phân phối

Cho$\vec{a} = (1;2)$,$\vec{b} = (3;0)$,$\vec{c} = (2;1)$.

Tính$(\vec{b} + \vec{c}) = (3+2; 0+1) = (5;1)$.

Vậy:

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 5 + 2 = 7$

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = (1 \cdot 3 + 2 \cdot 0) + (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) = (3 + 0) + (2 + 2) = 3 + 4 = 7$

Kết quả giống nhau nên tính chất phân phối được xác nhận.

Ví dụ 3: Tích vô hướng với số thực

Cho$k = 2$,$\vec{a} = (3;1)$,$\vec{b} = (2;2)$

$k\vec{a} = (6;2)$

$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = 6 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12 + 4 = 16$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6 + 2 = 8$

$k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2 \cdot 8 = 16$

Vậy:$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Ví dụ 4: Tích vô hướng của vectơ với chính nó

Cho $\vec{a} = (4;3) \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{a} = 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 16 + 9 = 25 = |\vec{a}|^2$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi sử dụng tích vô hướng

Trường hợp 1: Hai vectơ vuông góc

Nếu$\vec{a} \perp \vec{b}$thì $\cos 90^\circ = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Trường hợp 2: Hai vectơ cùng phương, cùng hướng hoặc ngược hướng

Lưu ý: Đôi khi học sinh bị nhầm lẫn dấu khi tính góc nhọn và góc tù, hãy xác định đúng hướng của hai vectơ trước khi kết luận dấu của tích vô hướng.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tích vô hướng giúp xác định góc giữa hai vectơ, kiểm chứng tính vuông góc, song song, và áp dụng trong các bài toán hình học (chứng minh tam giác vuông, tính độ dài, diện tích hình bình hành...)

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$\vec{u} = (2; -1)$,$\vec{v} = (3; 4)$. Tính$\vec{u} \cdot \vec{v}$và xác định góc giữa chúng.

Bài 2: Chứng minh rằng nếu$\vec{a}$vuông góc với$\vec{b}$, thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

• Giải: Do$\vec{a} \perp \vec{b}$,$\varphi = 90^\circ \Rightarrow \cos{90^\circ} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cdot 0 = 0$.

Bài 3: Tìm$x$biết$\vec{a} = (x; 2)$và $\vec{b} = (1; 3)$, nếu$\vec{a}$và $\vec{b}$vuông góc.

• Giải:$\vec{a} \cdot \vec{b} = x \cdot 1 + 2 \cdot 3 = x + 6$. Do$\vec{a} \perp \vec{b}$nên$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

9. Tóm tắt điểm chính cần nhớ