Blog

Lớp 10

Tính giá trị lượng giác bằng định nghĩa trên đường tròn lượng giác: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

"Tính giá trị lượng giác bằng định nghĩa trên đường tròn lượng giác" là một khái niệm nền tảng trong chương trình toán học lớp 10. Đây là bước quan trọng giúp học sinh hiểu sâu sắc về các giá trị lượng giác của một góc bất kỳ, không chỉ trong tam giác vuông mà còn cho mọi góc trên mặt phẳng Oxy.

Việc hiểu rõ định nghĩa này giúp bạn:

  • Giải quyết được các bài toán lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.
  • Ứng dụng trong các bài toán thực tế như đo đạc, xây dựng, vật lý, v.v.
  • Nắm vững nền tảng cho các kiến thức Toán THPT và luyện thi.

    • Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập về chủ đề này để rèn luyện kỹ năng.

    2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

    2.1 Lý thuyết cơ bản

    - Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O, bán kính 1 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

    - Cho điểm M trên đường tròn lượng giác ứng với số đo gócxx(tính từ trục Ox theo chiều dương). Khi đó:

  • Hoành độ của M là oxedcos⁡xoxed{\cos x}
  • Tung độ của M là oxedsin⁡xoxed{\sin x}

    • - Công thức xác định:

  • oxedcos⁡x=OMxoxed{\cos x = OM_x}(Hoành độ điểm M)
  • oxedsin⁡x=OMyoxed{\sin x = OM_y}(Tung độ điểm M)

    • - Các định lý và tính chất chính:

  • Mỗi gócxx đều có một giá trị sin và cos duy nhất trên đường tròn lượng giác.
  • oxedsin⁡2x+cos⁡2x=1oxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}với mọixx.

    • - Điều kiện áp dụng:xxcó thể là bất kỳ số thực nào (góc dương, âm hoặc lớn hơn360exto360^ext{o}).

    - Giới hạn: Bán kính đường tròn lượng giác luôn là 1.

    2.2 Công thức và quy tắc

    Công thức cần nhớ:

  • oxedsin⁡x=OMyoxed{\sin x = OM_y}
  • oxedcos⁡x=OMxoxed{\cos x = OM_x}
  • oxedtan⁡x=sin⁡xcos⁡xoxed{\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}}(nếucos⁡x≠0\cos x \neq 0)
  • oxedcot⁡x=cos⁡xsin⁡xoxed{\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}(nếusin⁡x≠0\sin x \neq 0)

    • Cách ghi nhớ:

  • Sin = Sine = S (trục dọc), Cos = Cosine = C (trục ngang).

    • Điều kiện sử dụng:

  • Tan chỉ xác định khicos⁡x≠0\cos x \neq 0; Cot chỉ có khisin⁡x≠0\sin x \neq 0.

    • Biến thể công thức: Có thể mở rộng cho các cung liên quan đặc biệt như 180exto−x180^ext{o} - x,360exto+x360^ext{o} + x,...

    3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Ví dụ: Tínhsin⁡120exto\sin120^ext{o}và cos⁡120exto\cos120^ext{o}bằng định nghĩa trên đường tròn lượng giác.

  • Bước 1: Xác định góc120exto120^ext{o}trên đường tròn lượng giác. Vẽ góc xuất phát từ điểm(1;0)(1;0)quay ngược chiều kim đồng hồ.
  • Bước 2: Xác định điểmMMtrên đường tròn ứng với góc120exto120^ext{o}.
  • Bước 3: Hoành độ củaMMlà cos⁡120exto\cos120^ext{o}, tung độ củaMMlà sin⁡120exto\sin120^ext{o}.
  • Bước 4: Dễ thấy,120exto120^ext{o}thuộc góc phần tư thứ II, nêncos⁡120exto\cos120^ext{o} âm,sin⁡120exto\sin120^ext{o}dương.
  • Sử dụng công thức:sin⁡120exto=sin⁡(180exto−60exto)=sin⁡60exto=ext√32\sin120^ext{o} = \sin(180^ext{o} - 60^ext{o}) = \sin60^ext{o} = \frac{ext{√}3}{2},cos⁡120exto=−cos⁡60exto=−12\cos120^ext{o} = -\cos60^ext{o} = -\frac{1}{2}.

    • Lưu ý: Luôn xác định cung góc nằm ở góc phần tư nào để xét dấu đúng.

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Ví dụ: Tínhsin⁡300exto\sin300^ext{o}và cos⁡300exto\cos300^ext{o}bằng định nghĩa trên đường tròn lượng giác.

  • Bước 1:300exto300^ext{o} ứng với góc phần tư IV.
  • Bước 2:sin⁡300exto=sin⁡(360exto−60exto)=−sin⁡60exto=−ext√32\sin300^ext{o} = \sin(360^ext{o} - 60^ext{o}) = -\sin60^ext{o} = -\frac{ext{√}3}{2}
  • cos⁡300exto=cos⁡(360exto−60exto)=cos⁡60exto=12\cos300^ext{o} = \cos(360^ext{o} - 60^ext{o}) = \cos60^ext{o} = \frac{1}{2}

    • Khi giải các bài toán nâng cao, hãy áp dụng linh hoạt các tính chất đối xứng và cộng trừ góc trên đường tròn.

    4. Các trường hợp đặc biệt

    - Các góc đặc biệt như 0exto0^ext{o},90exto90^ext{o},180exto180^ext{o},270exto270^ext{o},360exto360^ext{o}có giá trị sin/cos rõ ràng:

  • sin⁡0exto=0\sin0^ext{o} = 0;cos⁡0exto=1\cos0^ext{o} = 1
  • sin⁡90exto=1\sin90^ext{o} = 1;cos⁡90exto=0\cos90^ext{o} = 0
  • sin⁡180exto=0\sin180^ext{o} = 0;cos⁡180exto=−1\cos180^ext{o} = -1
  • sin⁡270exto=−1\sin270^ext{o} = -1;cos⁡270exto=0\cos270^ext{o} = 0
  • sin⁡360exto=0\sin360^ext{o} = 0;cos⁡360exto=1\cos360^ext{o} = 1

    • - Nếu góc lớn hơn360exto360^ext{o}hoặc là góc âm: Quy về góc cùng phương trong[0;360exto)[0;360^ext{o})bằng cách cộng hoặc trừ bội số của360exto360^ext{o}.

    - Mối liên hệ: Giá trị lượng giác là cơ sở cho nhiều kiến thức hình học, đại số sau này.

    5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm sin là hoành độ, cos là tung độ (thực tế ngược lại).
  • Chỉ nghĩ giá trị lượng giác chỉ xác định được trong tam giác vuông.
  • Quên dấu của giá trị sin, cos tùy góc phần tư.
  • Cách tránh: Luyện vẽ đường tròn lượng giác, đánh dấu các góc cơ bản để phân biệt rõ.

    • 5.2 Lỗi về tính toán

  • Áp dụng sai công thức, nhầm lẫn sin, cos khi tính các góc đặc biệt.
  • Tính toán nhầm dấu ở các góc phần tư II, III, IV.
  • Cách kiểm tra: So sánh kết quả với bảng giá trị lượng giác hoặc sử dụng máy tính kiểm tra nhanh.

    • 6. Luyện tập miễn phí ngay

    Hãy truy cập ngay để luyện tập 42.226+ bài tập Tính giá trị lượng giác bằng định nghĩa trên đường tròn lượng giác miễn phí. Không cần đăng ký, luyện tập dễ dàng chỉ với một click. Theo dõi tiến độ, cải thiện kết quả và tự tin chinh phục mọi đề bài!

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Hiểu bản chất: Sin là tung độ, cos là hoành độ của điểm trên đường tròn lượng giác.
  • Nắm các giá trị và dấu của sin, cos cho các góc đặc biệt và trong từng góc phần tư.
  • Ghi nhớ công thức: sin, cos là hoành độ, tung độ trên đường tròn bán kính 1.
  • Luyện vẽ minh họa, chuyển đổi linh hoạt giữa góc và giá trị lượng giác.
  • Kiểm tra lại dấu và so sánh kết quả với bảng giá trị lượng giác chuẩn.

    • Checklist trước khi làm bài:

  • - Đã xác định chính xác góc trên đường tròn lượng giác?
  • - Đã xét đúng dấu sin, cos chưa?
  • - Đã viết công thức đúng?

    • Chúc bạn học tốt và luyện tập hiệu quả với chủ đề Tính giá trị lượng giác bằng định nghĩa trên đường tròn lượng giác miễn phí!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".