Tính phương sai, độ lệch chuẩn trong bảng tính

Phương sai và độ lệch chuẩn là hai khái niệm quan trọng trong thống kê, giúp chúng ta đo lường mức độ phân tán của một tập hợp số liệu quanh giá trị trung bình. Trong chương trình toán lớp 10, hiểu và biết cách tính phương sai, độ lệch chuẩn không chỉ hỗ trợ giải quyết các bài toán thực tế mà còn là nền tảng cho các nội dung nâng cao sau này.

1. Khái niệm và tầm quan trọng của phương sai, độ lệch chuẩn

Có hai câu hỏi thường gặp: (1) Làm thế nào để biết các số liệu có phân tán nhiều hay ít? (2) Căn cứ vào đâu để xác định mức độ ổn định của dữ liệu? Đó là lúc phương sai và độ lệch chuẩn phát huy tác dụng.

Phương sai ($\sigma^2$) cho biết mức độ các giá trị trong một dãy số lệch như thế nào so với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn ($\sigma$) là căn bậc hai của phương sai, giúp việc so sánh trực quan hơn vì nó dùng cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu.

2. Định nghĩa chính xác

• • Phương sai của dãy số $x_1, x_2,..., x_n$(gọi trung bình cộng là $\overline{x}$):

$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$

• • Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

3. Các bước tính toán với ví dụ minh họa

Giả sử bạn có bảng điểm toán của 5 bạn học sinh: 7, 8, 10, 9, 6. Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn.

• Bước 1: Tính trung bình cộng ($\overline{x}$):

$\overline{x} = \frac{7 + 8 + 10 + 9 + 6}{5} = \frac{40}{5} = 8$

• Bước 2: Tính các độ lệch bình phương:

•$(7 - 8)^2 = 1$
•$(8 - 8)^2 = 0$
•$(10 - 8)^2 = 4$
•$(9 - 8)^2 = 1$
•$(6 - 8)^2 = 4$

• Bước 3: Tính tổng các độ lệch bình phương:

$Tổng = 1 + 0 + 4 + 1 + 4 = 10$

• Bước 4: Chia tổng vừa tính cho số phần tử (n = 5):

$\sigma^2 = \frac{10}{5} = 2$

• Bước 5: Lấy căn bậc hai của kết quả để được độ lệch chuẩn:

$\sigma = \sqrt{2} \approx 1,414$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2$

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương sai và độ lệch chuẩn liên quan mật thiết đến trung bình cộng, đồng thời là cơ sở để tính các chỉ số khác như hệ số biến thiên, độ lệch chuẩn tương đối… Đây cũng là điểm xuất phát để đi sâu vào môn học Xác suất & Thống kê hiện đại.

Khi bạn biết cách tính phương sai và độ lệch chuẩn, bạn sẽ dễ dàng tiếp cận các dạng bài toán phân tích dữ liệu, so sánh sự biến thiên giữa các nhóm số liệu, hoặc đánh giá mức độ rủi ro trong các bài toán thực tiễn.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bước 1:$\overline{x} = \frac{3+5+7+8+12}{5} = \frac{35}{5} = 7$

Bước 2: Tính$(x_i - \overline{x})^2$:
•$(3-7)^2=16$
•$(5-7)^2=4$
•$(7-7)^2=0$
•$(8-7)^2=1$
•$(12-7)^2=25$

Tổng =$16 + 4 + 0 + 1 + 25 = 46$

Bước 3: Phương sai: $\sigma^2 = \frac{46}{5} = 9,2$

Bước 4: Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{9,2} \approx 3,033$

Phương sai nhỏ nhất khi tất cả các giá trị bằng nhau. Ví dụ: 5, 5, 5, 5, 5.
$\overline{x}=5$.
$\sigma^2 = \frac{1}{5}((5-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2 + (5-5)^2) = 0$
$\sigma = 0$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ