Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt: Giải thích từ A đến Z cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 10, khái niệm Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt là một kiến thức cực kỳ quan trọng. Đây là phần không thể thiếu trong các bài toán tổ hợp, xác suất và có ứng dụng rộng rãi trong thực tế như: xếp ghế, bốc thăm, tạo mật khẩu, sắp xếp thứ tự…

Việc hiểu rõ về khái niệm này giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến việc sắp xếp, lựa chọn và sắp thứ tự các đối tượng khác nhau. Không chỉ giúp học tốt trên lớp mà còn gián tiếp rèn luyện tư duy logic cho cuộc sống hàng ngày.

Bạn có cơ hội 42.226+ bài tập luyện tập Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt miễn phí để nâng cao kỹ năng ngay sau khi học lý thuyết!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa:Cho tập hợp gồm$n$phần tử phân biệt. Một chỉnh hợp chập$k$là một cách sắp xếp$k$phần tử trong số $n$phần tử đó theo một thứ tự nhất định.

• Chỉnh hợp ký hiệu:$A_n^k$

• Điều kiện:$1 \leq k \leq n$(tức là $k$không lớn hơn$n$)

• Tính chất: Chỉnh hợp quan tâm đến cả thứ tự sắp xếp các phần tử lựa chọn.

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức tính số chỉnh hợp chập$k$của$n$phần tử phân biệt là:

$A_n^k = n\left(n-1\right)...\left(n-k+1\right) = \frac{n!}{\left(n-k\right)!}$

- Nhớ công thức: hãy liên tưởng mỗi lựa chọn phần tử đều giảm đi 1 theo từng lần lấy.

- Cách ghi nhớ:Khi chọn$k$phần tử từ $n$phần tử phân biệt và sắp xếp theo thứ tự, ta dùng tích nối tiếp hoặc dùng giai thừa.

- Biến thể công thức:Nếu$k=n$, thì $A_n^n = n!$(chính là số hoán vị của$n$phần tử).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Có 5 bạn học sinh xếp vào 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:

1. Số phần tử:$n = 5$, số vị trí chọn:$k = 3$.
2. Áp dụng công thức:$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$
3. Vậy có 60 cách xếp 3 bạn vào 3 ghế từ 5 bạn.

- Lưu ý: Thứ tự các bạn ngồi là khác nhau, vì vậy phải xếp đúng công thức chỉnh hợp!

3.2 Ví dụ nâng cao

Một đội bóng đá có 11 cầu thủ, chọn ra đội hình chính gồm 5 người xếp thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách chọn và xếp đội hình chính?

Giải:

1. Có $n = 11$cầu thủ, chọn$k = 5$cầu thủ và xếp thứ tự.
2. Số cách:$A_{11}^5 = \frac{11!}{(11-5)!} = \frac{39916800}{720} = 55440$

Chú ý: Nếu chỉ chọn 5 người (không quan tâm xếp hàng), bài toán là tổ hợp.

Kỹ thuật giải nhanh: Nhớ hệ số $A_n^k$là tích$k$số liên tiếp từ $n$giảm dần.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$k=0$thì $A_n^0 = 1$(chỉ có 1 cách chọn không chọn gì).

- Nếu$k=n$thì $A_n^n = n!$(số hoán vị của$n$phần tử).

- Nếu$k>n$, thì $A_n^k=0$(không thể chọn nhiều hơn số phần tử hiện có).

Chỉnh hợp liên quan mật thiết với hoán vị và tổ hợp: nếu bỏ qua thứ tự → tổ hợp, sắp xếp hết tất cả phần tử → hoán vị.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa chỉnh hợp (có thứ tự) với tổ hợp (không quan tâm thứ tự). Ví dụ: đổi chỗ 2 bạn là cách khác nhau trong chỉnh hợp, nhưng giống nhau trong tổ hợp.
• Quên điều kiện$1 \leq k \leq n$.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai giai thừa, quên đóng ngoặc, tính nhầm thứ tự.
• Nhầm công thức$A_n^k$với$C_n^k$.
• Không kiểm tra lại kết quả, dễ dẫn đến sai sót.

Cách kiểm tra: Thử thay số nhỏ vào kiểm tra lại từng bước.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử phân biệt miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng rõ rệt.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Tính số chỉnh hợp chập$k$của$n$phần tử phân biệt sử dụng công thức$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

- Quan sát bài toán có quan tâm thứ tự hay không để chọn đúng

- Kiểm tra điều kiện$k \leq n$và thử với ví dụ nhỏ

1. Hiểu rõ bản chất phép chỉnh hợp.
2. Ghi nhớ công thức và điều kiện.
3. Thực hành nhiều bài tập khác nhau.

Hãy dành thời gian luyện tập thường xuyên để thành thạo dạng toán này!