1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tính số tổ hợp chập k của n phần tử phân biệt là một kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán học lớp 10, thuộc chuyên đề Đại số tổ hợp. Đây là khái niệm dùng để đếm số cách chọn k phần tử từ n phần tử duy nhất (không lặp, không phân biệt thứ tự). Việc hiểu rõ tổ hợp giúp học sinh giải quyết hiệu quả nhiều dạng toán tổ hợp, xác suất, và các bài toán thực tế như chọn đội, bốc thăm, chia nhóm... Ngoài ý nghĩa học thuật, khái niệm này còn ứng dụng rộng rãi trong tính toán xác suất, lập kế hoạch, sắp xếp và xử lý dữ liệu trong đời sống. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với 40.504+ bài tập tổ hợp trên nền tảng của chúng tôi để nâng cao kỹ năng.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Số tổ hợp chập$k$của$n$phần tử phân biệt (ký hiệu:$C_n^k$hoặc$\mathrm{C}(n, k)$) là số cách chọn ra$k$phần tử từ $n$phần tử phân biệt, không quan tâm thứ tự sắp xếp.
- Điều kiện áp dụng:$0 \leq k \leq n$
- Tính chất:$C_n^k = C_n^{n-k}$– chọn$k$phần tử hoặc chọn$n-k$phần tử còn lại là như nhau.

2.2 Công thức và quy tắc

Công thức cần thuộc lòng:

Công thức tính số tổ hợp chập$k$của$n$phần tử phân biệt:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

-$n!$(giai thừa của$n$) là tích của các số từ 1 đến$n$.
- Cách ghi nhớ: Chọn$k$từ $n$mà không quan tâm thứ tự nghĩa là mọi nhóm$k$phần tử đều chỉ tính một lần.
- Chú ý: Nếu$k > n$thì $C_n^k = 0$.
- Biến thể: Các công thức liên quan hoán vị, chỉnh hợp:
+ Hoán vị:$P_n = n!$
+ Chỉnh hợp chập$k$của$n$:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
+ Tổ hợp:$C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Một lớp học có 5 bạn A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 bạn để trực nhật?

Lời giải từng bước:

Số phần tử:$n = 5$. Số chọn:$k = 2$.
Áp dụng công thức:

$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$

Vậy có 10 cách chọn.

Lưu ý: Thứ tự các bạn không quan trọng, tức chọn A & B giống chọn B & A.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Từ 8 học sinh, chọn ra 3 bạn vào đội học sinh giỏi, nhưng trong số đó phải có ít nhất 1 nữ (biết có 3 nữ, 5 nam).

Cách giải linh hoạt:

- Cách 1 (bổ sung): Tổng số cách chọn không điều kiện:$C_8^3$
- Số cách chọn 3 bạn đều nam:$C_5^3$
- Số cách thỏa mãn:$C_8^3 - C_5^3$

Tính toán cụ thể:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = 56$
$C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = 10$
Vậy còn:$56-10=46$cách chọn.

Kỹ thuật giải nhanh: Dùng bổ sung để tránh liệt kê từng trường hợp.

4. Các trường hợp đặc biệt

-$C_n^0 = 1$: chỉ có 1 cách chọn 0 phần tử (chọn trống).
-$C_n^n = 1$: chỉ có 1 cách chọn tất cả phần tử.
-$C_n^1 = n$: chọn 1 phần tử bất kỳ.
- Nếu$k>n$thì $C_n^k = 0$: không thể chọn nhiều hơn số phần tử có.

Liên hệ với chỉnh hợp & hoán vị:$A_n^k = C_n^k \cdot k!$,$P_n = C_n^n \cdot n! = n!$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn tổ hợp với chỉnh hợp (chú ý: tổ hợp không phân biệt thứ tự).
- Quên mất giới hạn$0 \leq k \leq n$.
- Sử dụng công thức không phù hợp với bài toán yêu cầu chọn có phân biệt thứ tự.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi tính giai thừa.
- Nhân hoặc chia thiếu thừa các số hạng trong công thức.
- Phương pháp kiểm tra: Sau khi tính xong nên kiểm tra lại từng bước, thử với giá trị nhỏ ($n=4,k=2$) để tự kiểm tra.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 40.504+ bài tập Tính số tổ hợp chập k của n phần tử phân biệt miễn phí.
- Không cần đăng ký, luyện tập ngay trên website.
- Hệ thống tự động lưu lại tiến độ và đề xuất mức độ phù hợp giúp bạn cải thiện kỹ năng nhanh chóng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Điểm cần nhớ:
- Tổ hợp chập$k$của$n$phần tử phân biệt:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
- Điều kiện:$0 \leq k \leq n$
- Ứng dụng nhiều trong xác suất, chia nhóm, lập kế hoạch.

Checklist trước khi làm bài:
- Đã hiểu rõ bản chất tổ hợp, không nhầm với chỉnh hợp?
- Thuộc và sử dụng thành thạo công thức chưa?
- Biết nhận diện điều kiện và trường hợp đặc biệt?

Kế hoạch ôn tập hiệu quả:
- Ôn lại lý thuyết và công thức.
- Làm nhiều bài tập từ dễ đến khó, nhất là các bài tập 40.504+ miễn phí.
- Trao đổi bài với bạn cùng lớp để củng cố kiến thức.