Blog

Tính xác suất biến cố hợp, giao, đối – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
9 phút đọc
Chia sẻ:
10 phút đọc

Giới thiệu: Tầm quan trọng của xác suất biến cố hợp, giao, đối trong Toán lớp 10

Trong chương trình Toán lớp 10, xác suất là một chủ đề quan trọng giúp học sinh nhận thức được sự ngẫu nhiên và cách đo lường khả năng xảy ra của các sự kiện (biến cố). Việc hiểu rõ và vận dụng đúng các phép toán trên biến cố như hợp, giao, đối không chỉ giúp nâng cao khả năng tư duy logic mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các phần học nâng cao về xác suất và thống kê ở các lớp trên.

1. Định nghĩa các phép toán trên biến cố và xác suất liên quan

- Biến cố hợp (ABA \cup B):Là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố AAhoặcBBxảy ra.

- Biến cố giao (ABA \cap B):Là biến cố xảy ra khi cả AABB đều xảy ra đồng thời.

- Biến cố đối (A\overline{A}hoặcAA'):Là biến cố mà AAkhông xảy ra.

Kí hiệu: P(A)P(A): Xác suất biến cố AA.

Công thức cơ bản:

P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(AB)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)nếuAABB độc lập.

P(A)=1P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)

2. Giải thích chi tiết từng phép toán với ví dụ minh họa

a) Xác suất biến cố hợp

Cho biến cố AA– “lấy được viên bi đỏ” và biến cố BB– “lấy được viên bi xanh” khi lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp chứa 3 viên đỏ và 2 viên xanh.

Số phần tử không gian mẫu:n(Ω)=5n(\Omega) = 5.

Số phần tử củaAA:n(A)=3n(A) = 3.

Số phần tử củaBB:n(B)=2n(B) = 2.

Hai biến cố không giao nhau nên:

P(AB)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Trong ví dụ này:

P(A)=35,P(B)=25P(AB)=1P(A) = \frac{3}{5}, P(B) = \frac{2}{5} \Rightarrow P(A \cup B) = 1

Nhận xét: Đó là tất cả các phần tử củaΩ\Omega đều thuộc hợpABA \cup B.

b) Xác suất biến cố giao

Nếu lấy một thẻ bài,AA– “lấy được lá bài đỏ”,BB– “lấy được lá bài số chẵn” trong 10 lá bài đánh số từ 1 đến 10, trong đó các lá đỏ là 2, 4, 6, 8, 10.

Số phần tử AAlà 5 (các số 2, 4, 6, 8, 10).

Số phần tử BBcũng là 5 (cùng các số trên).

Số phần tử AB=5A \cap B = 5(vì A=BA = B).

P(A)=P(B)=510=0,5P(A) = P(B) = \frac{5}{10} = 0,5

P(AB)=510=0,5P(A \cap B) = \frac{5}{10} = 0,5

NếuAABB độc lập, dùng công thức nhân xác suất.

c) Xác suất biến cố đối

Gieo một xúc xắc 6 mặt.AA– “xuất hiện số chẵn”.

Có 3 số chẵn (2,4,6), thusP(A)=36=0,5P(A) = \frac{3}{6} = 0,5.

Khi đó xác suất để AAkhông xảy ra là:

P(A)=1P(A)=0,5P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0,5

3. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu hai biến cố không giao nhau (tứcAB=A \cap B = \emptyset), thì P(AB)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).

- NếuAABB độc lập,P(AB)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).

- Tổng xác suất của một biến cố và biến cố đối luôn bằng 1:P(A)+P(A)=1P(A) + P(\overline{A}) = 1.

- Chú ý không nhầm lẫn giữa các trường hợp biến cố độc lập và không giao nhau.

4. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Các phép toán trên biến cố giống như các phép toán tập hợp (hợp, giao, phần bù).

- Lý thuyết xác suất là nền tảng cho thống kê và các phần học Toán ứng dụng sau này, đặc biệt trong bài toán thực tế và phân tích dữ liệu.

Hình minh họa: Minh họa không gian mẫu của phép thử tung hai đồng xu, gồm 4 kết quả (S, S), (S, N), (N, S) và (N, N); trục hoành là kết quả lần quay thứ nhất, trục tung là kết quả lần quay thứ hai (S = sấp, N = ngửa
Minh họa không gian mẫu của phép thử tung hai đồng xu, gồm 4 kết quả (S, S), (S, N), (N, S) và (N, N); trục hoành là kết quả lần quay thứ nhất, trục tung là kết quả lần quay thứ hai (S = sấp, N = ngửa

5. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một bộ bài 52 lá, tính xác suất để rút được một lá bài là lá bích hoặc lá át.

Giải:

GọiAAlà biến cố “lấy được lá bích” (13 lá);BBlà biến cố “lấy được lá át” (4 lá: át cơ, át rô, át tép, át bích).

Giao củaAABBlà “lấy được lá át bích” (1 lá).

Áp dụng công thức:P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A)=1352=0,25P(A) = \frac{13}{52} = 0,25

P(B)=452=0,0769P(B) = \frac{4}{52} = 0,0769

P(AB)=152=0,0192P(A \cap B) = \frac{1}{52} = 0,0192

P(AB)=0,25+0,07690,0192=0,3077P(A \cup B) = 0,25 + 0,0769 - 0,0192 = 0,3077

Vậy xác suất rút được lá bích hoặc át là 0,3077\boxed{0,3077}(hoặc1652\frac{16}{52}).

Bài tập 2: Gieo một đồng xu 2 lần. Tính xác suất xuất hiện ít nhất một lần mặt sấp.

Giải:

Không gian mẫu: (S, S), (S, N), (N, S), (N, N); (S: sấp, N: ngửa).

Biến cố AA: 'có ít nhất một sấp' = biến cố đối của 'không có sấp'.

Chỉ có một kết quả là (N, N) không có sấp.

VậyP(A)=1P(A)=114=34P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \boxed{\frac{3}{4}}.

Bài tập 3: Trong một nhóm có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Lấy ngẫu nhiên 1 học sinh. Tính xác suất lấy được học sinh nữ.

Giải:P(A)=25P(A) = \frac{2}{5}(trực tiếp)

Xác suất lấy học sinh nam là P(A)=35P(\overline{A}) = \frac{3}{5}.

6. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Lầm lẫn giữa phép hợp và phép giao – cần nhớ rõ: hợp là 'ít nhất một', giao là 'đồng thời'.

- Quên trừ phần giao khi tính xác suất hợp biến cố:P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

- Nhầm lẫn giữa 'không giao nhau' và 'độc lập'. Không giao nhau nghĩa là không cùng xảy ra, độc lập nghĩa là xác suất xảy ra của mỗi biến cố không bị ảnh hưởng bởi biến cố kia.

- Nhầm lẫn giữa biến cố đối và biến cố bổ sung: thực chất là cùng một khái niệm – biến cố đối là biến cố mà AAkhông xảy ra.

7. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Phép hợp:P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  • Phép giao:P(AB)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)nếu độc lập
  • Biến cố đối:P(A)=1P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)
  • Luôn xác định đúng quan hệ giữa các biến cố trước khi áp dụng công thức
  • Tránh nhầm lẫn giữa 'không giao nhau' và 'độc lập'
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".