1. Giới thiệu về khái niệm xác suất biến cố hợp, giao, đối

Trong chương trình Toán lớp 10, phần xác suất đóng vai trò quan trọng nhằm giúp học sinh hiểu và vận dụng các lý thuyết vào thực tiễn. Ba khái niệm nền tảng trong xác suất là biến cố hợp, giao và đối. Việc nắm vững cách tính xác suất của các loại biến cố này giúp ta giải quyết hiệu quả nhiều dạng bài tập thực tế như bốc thăm, lắc xúc xắc, chọn thẻ bài, v.v. Đây cũng là nền tảng cho các kiến thức xác suất và thống kê ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa chính xác về biến cố hợp, giao, đối và xác suất của chúng

• Biến cố hợp: Cho hai biến cố $A$và $B$. Biến cố “$A$hoặc$B$xảy ra” (ký hiệu$A \cup B$) gọi là biến cố hợp của$A$và $B$.

• Biến cố giao: Biến cố “$A$và $B$cùng xảy ra” (ký hiệu$A \cap B$) gọi là biến cố giao của$A$và $B$.

• Biến cố đối: Biến cố đối (ký hiệu$\overline{A}$) hay biến cố bổ sung của$A$là biến cố “$A$không xảy ra”.

• Xác suất của biến cố: Nếu không gian mẫu là hữu hạn với số phần tử là $n$, biến cố $A$gồm$m$kết quả thuận lợi thì xác suất của$A$là $P(A) = \frac{m}{n}$.

Các công thức xác suất cơ bản:

• Xác suất của hợp hai biến cố:
  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
  Điều này loại trừ phần trùng lặp khi$A$và $B$ đều xảy ra.
• Xác suất của giao hai biến cố: Nếu$A$và $B$ độc lập,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Nếu không, phải tính số kết quả cùng thuộc$A$và $B$.
• Xác suất biến cố đối:$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

3. Ví dụ minh họa và giải thích từng bước

Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Tính xác suất của các biến cố sau:

• A: “Ra số chẵn”
• B: “Ra số lớn hơn 4”
• A ∪ B: “Ra số chẵn hoặc lớn hơn 4”
• A ∩ B: “Ra số chẵn và lớn hơn 4”
• A̅: “Không ra số chẵn”

Không gian mẫu:$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$($n = 6$)

-$A = \{2, 4, 6\}$($m_A = 3$), nên$P(A) = \frac{3}{6} = 0,5$

-$B = \{5, 6\}$($m_B = 2$), nên$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

-$A \cap B = \{6\}$,$m_{A \cap B} = 1$ \rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{6}$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$,$m_{A \cup B} = 4$ \rightarrow P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}" data-math-type="inline"> <!--LATEX_PROCESSED_1754097851998--></p><p>-<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mn>2</mn><mo separator="true">,</mo><mn>4</mn><mo separator="true">,</mo><mn>5</mn><mo separator="true">,</mo><mn>6</mn><mo stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal">A</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">∪</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6833em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05017em;">B</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">{</span><span class="mord">2</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">4</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">5</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord">6</span><span class="mclose">}</span></span></span></span></span>,<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>m</mi><mrow><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>4</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">m_{A \cup B} = 4</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5806em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">m</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3283em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">A</span><span class="mbin mtight">∪</span><span class="mord mathnormal mtight" style="margin-right:0.05017em;">B</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">4</span></span></span></span></span> \rightarrow P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

-$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$,$m_{A \cup B} = 4$ \rightarrow P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Hoặc dùng công thức:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,5 + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

-$\overline{A} = \{1, 3, 5\}$, nên$P(\overline{A}) = 1 - 0,5 = 0,5$

Ví dụ 2: Bốc ngẫu nhiên một lá bài từ bộ bài 52 lá.

• A: “Rút được lá cơ” ($13$lá)
• B: “Rút được lá át” ($4$lá)

- Số lá vừa là cơ vừa là át:$1$lá (Át cơ).
- Số khả năng tổng cộng:$n = 52$.

$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

$P(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$

$P(A \cap B) = \frac{1}{52}$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} - \frac{1}{52} = \frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu hai biến cố $A$và $B$xung khắc (không có phần tử chung),$A \cap B = \emptyset$, do đó $P(A \cap B) = 0$và $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Luôn có $0 \leq P(A \cap B) \leq P(A), P(B) \leq P(A \cup B) \leq 1$
• Biến cố đối với$A$luôn có $P(A) + P(\overline{A}) = 1$

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

• Lý thuyết tập hợp: Các phép toán hợp ($\cup$), giao ($\cap$), bù (đối) ($\overline{A}$) dựa trên kiến thức tập hợp.
• Đại số tổ hợp: Xác suất thường dựa vào cách đếm số trường hợp thuận lợi/khả năng xảy ra (tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị).
• Thống kê: Xác suất là cơ sở để xây dựng các khái niệm về xác suất thực nghiệm, xác suất có điều kiện...

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Một hộp có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Gọi$A$là biến cố “lấy được bi đỏ”,$B$là biến cố “lấy được bi màu chẵn” (giả sử các viên bi được đánh số từ 1 đến 8).
Tính$P(A), P(B), P(A \cup B), P(A \cap B), P(\overline{A})$.

Giải:

Không gian mẫu: 8 viên bi.

-$A$có 5 viên (bi đỏ),$P(A) = \frac{5}{8}$
- “Màu chẵn” (tức là viên bi có số chẵn): số chẵn là 2,4,6,8 → có 4 viên,$P(B) = \frac{4}{8} = 0,5$
- Xét$A \cap B$: có bao nhiêu viên bi vừa là đỏ, vừa mang số chẵn? Giả sử 5 viên đỏ mang số 1,2,3,4,5; 3 viên xanh mang số 6,7,8.$A \cap B$là những bi vừa đỏ, vừa số chẵn: chỉ có số 2,4 (nếu 2,4 là đỏ) →$2$viên,$P(A \cap B) = \frac{2}{8} = 0,25$
-$A \cup B$có thể tính theo công thức:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{5}{8} + 0,5 - 0,25 = \frac{7}{8}$
-$P(\overline{A}) = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Bài tập 2: Trong kỳ thi, xác suất để bạn An làm đúng câu 1 là $0,7$, đúng câu 2 là $0,5$và xác suất làm đúng cả 2 câu là $0,4$. Hỏi xác suất An làm đúng ít nhất một câu là bao nhiêu? Xác suất An làm sai cả hai câu?

Giải:

Gọi$A$: làm đúng câu 1,$B$: làm đúng câu 2.

-$P(A) = 0,7$
-$P(B) = 0,5$
-$P(A \cap B) = 0,4$

- Xác suất làm đúng ít nhất một câu (tức là $P(A \cup B)$):
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,7 + 0,5 - 0,4 = 0,8$

- Xác suất làm sai cả hai câu: Biến cố đối$\overline{A \cup B}$
$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,8 = 0,2$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không trừ phần giao khi tính$P(A \cup B)$: Dẫn đến tính thừa số khả năng chung.
• Chọn sai không gian mẫu hoặc xác định sai số trường hợp thuận lợi.
• Nhầm lẫn giữa hợp, giao và đối – nhớ kỹ ký hiệu:$\cup$,$\cap$,$\overline{A}$.
• Không kiểm tra tổng xác suất phải bằng 1 với các trường hợp đối nhau.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Nắm chắc các ký hiệu và ý nghĩa: hợp ($\cup$), giao ($\cap$), đối ($\overline{A}$).
• Công thức xác suất hợp:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Công thức xác suất đối:$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
• Tư duy theo tập hợp và xác định kỹ không gian mẫu.
• Luôn kiểm tra đáp án, tránh các lỗi nhầm lẫn cơ bản.

Bài toán về xác suất hợp, giao, đối là một phần quan trọng của Toán lớp 10, giúp rèn luyện tư duy logic, hỗ trợ giải các bài toán thực tế và là nền tảng cho học sâu các nội dung xác suất, thống kê sau này. Nắm vững các quy tắc cơ bản và vận dụng linh hoạt sẽ giúp các bạn học sinh học tốt chủ đề này.