Blog

Lớp 10

Bài 1. Tọa độ của vector – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 10

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm tọa độ của vector và tầm quan trọng của nó trong chương trình Toán 10

Khi bắt đầu học Hình học giải tích (Hình học tọa độ Oxy) ở lớp 10, một trong những khái niệm nền tảng và quan trọng nhất chính là tọa độ của vector. Việc hiểu và sử dụng tọa độ vector không chỉ giúp giải quyết các bài toán về vị trí, khoảng cách và góc, mà còn là bước đệm quan trọng để bạn tiếp cận những nội dung cao hơn như hệ tọa độ trong không gian, giải toán bằng phương pháp tọa độ và các ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật.

2. Định nghĩa chính xác về tọa độ của vector

Trong mặt phẳng Oxy, giả sử ta có hai điểmA(xA;yA)A(x_A; y_A)và B(xB;yB)B(x_B; y_B). VectorAB⃗\vec{AB}là đại lượng biểu diễn sự dịch chuyển từ AA đếnBB. Tọa độ của vectorAB⃗\vec{AB}chính là cặp số thể hiện sự thay đổi hoành độ và tung độ từ AA đếnBB:

Tọa độ của vectorAB⃗\vec{AB}là:
<br>AB⃗=(xB−xA;yB−yA)<br><br>\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)<br>

Như vậy, nếu biết tọa độ hai điểm đầu mút của vector, ta xác định ngay được tọa độ của vector đó.

3. Giải thích chi tiết từng bước xác định tọa độ của vector (Có ví dụ minh họa)

Giả sử bạn cần xác định tọa độ vectorAB⃗\vec{AB}vớiA(1;2)A(1;2)và B(4;7)B(4;7). Ta thực hiện như sau:

  • Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm:
    A(1;2)A(1; 2)và B(4;7)B(4; 7)
  • Bước 2: Áp dụng công thức:
    AB⃗=(xB−xA;yB−yA)=(4−1;7−2)=(3;5)\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 1; 7 - 2) = (3; 5)
  • Vậy tọa độ củaAB⃗\vec{AB}là (3;5)(3;5).

    • Điều này thể hiện rằng nếu xuất phát từ điểmAA, bạn đi sang phải33 đơn vị (theo trục hoành - Ox) và lên trên55 đơn vị (theo trục tung - Oy) thì bạn sẽ đến điểmBB.

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • a) Vector cùng phương với trục Ox hoặc Oy:
  • • NếuAB⃗\vec{AB}song song hoăc nằm trên trục Ox, thì yB=yAy_B = y_A⇒ Tọa độ (xB−xA;0)(x_B - x_A; 0)
    • NếuAB⃗\vec{AB}song song hoặc nằm trên trục Oy, thì xB=xAx_B = x_A⇒ Tọa độ (0;yB−yA)(0; y_B - y_A)
    Ví dụ:A(2;3)A(2;3),B(7;3)B(7;3)⇒AB⃗=(5;0)\vec{AB} = (5; 0)(song song trục Ox)
  • b) Vector có độ dài bằng 0 (vector – không):
  • NếuAAtrùngBBthì AB⃗=(0;0)\vec{AB} = (0; 0)
  • c) Chú ý dấu trong phép tính:
    Luôn trừ theo đúng thứ tự:xB−xAx_B - x_A,yB−yAy_B - y_A(không được nhầm thànhxA−xBx_A - x_B,yA−yBy_A - y_B).

    • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

  • a) Phép cộng, trừ và nhân vector với số:
    Nếuu⃗=(a;b)\vec{u} = (a; b),v⃗=(c;d)\vec{v} = (c; d)thì:
    •u⃗+v⃗=(a+c;b+d)\vec{u} + \vec{v} = (a + c; b + d)
    •u⃗−v⃗=(a−c;b−d)\vec{u} - \vec{v} = (a - c; b - d)
    •ku⃗=(ka;kb)k\vec{u} = (ka; kb)vớik∈Rk \in \mathbb{R}
  • b) Tính chất trung điểm, đối xứng:
    Sử dụng vector để xác định vị trí trung điểm, điểm đối xứng trong mặt phẳng.
  • c) Ý nghĩa vật lý:
    Mỗi vector có một điểm đầu, điểm cuối và hai thành phần tọa độ. Độ dài vector là:
    <br>∣AB⃗∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2<br><br>|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}<br>
  • d) Mối quan hệ với phương trình đường thẳng:
    Vector chỉ phương của đường thẳng có thể được xác định bằng sự chênh lệch tọa độ hai điểm bất kỳ trên đường thẳng đó.

    • 6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài 1. ChoA(2;3)A(2;3),B(5;7)B(5;7). Tính tọa độ vectorAB⃗\vec{AB}.

    • Giải:
      AB⃗=(xB−xA;yB−yA)=(5−2;7−3)=(3;4)\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5-2; 7-3) = (3; 4)
      Đáp số:(3;4)(3;4).

    Bài 2. ChoA(−1,2)A(-1,2),B(2,−3)B(2,-3). Tính tọa độ vectorBA⃗\vec{BA}.

    • Giải:
      BA⃗=(xA−xB;yA−yB)=(−1−2;2−(−3))=(−3;5)\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (-1-2; 2-(-3)) = (-3; 5)
      Đáp số:(−3;5)(-3;5).

    Bài 3. Cho các điểmA(4;−2)A(4; -2),B(−1;1)B(-1; 1),C(2;6)C(2; 6). Tìm tọa độ vectorAB⃗+BC⃗\vec{AB} + \vec{BC}.

    • Giải:

      AB⃗=(xB−xA;yB−yA)=(−1−4;1−(−2))=(−5;3)\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-1-4; 1-(-2)) = (-5; 3)

      BC⃗=(xC−xB;yC−yB)=(2−(−1);6−1)=(3;5)\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (2-(-1); 6-1) = (3; 5)

      AB⃗+BC⃗=(−5+3;3+5)=(−2;8)\vec{AB} + \vec{BC} = (-5+3; 3+5) = (-2; 8)

      Đáp số:(−2;8)(-2;8).

    7. Các lỗi thường gặp và cách khắc phục

  • Sai thứ tự trừ (xB−xAx_B-x_Athay vì xA−xBx_A-x_Bkhi tínhAB⃗\vec{AB}). Luôn xác định rõ điểm đầu và điểm cuối.
  • Nhầm dấu++thành−-hoặc ngược lại khi cộng/trừ vector.
  • Quên viết dạng kết quả là cặp số (a; b), hoặc thay dấu ; bằng dấu , hoặc dấu khác chuẩn toán học.
  • Không kiểm tra lại đáp số bằng cách vẽ hình sơ bộ để kiểm tra hướng và độ lớn của vector.

    • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Tọa độ vectorAB⃗\vec{AB}là:(xB−xA;yB−yA)(x_B - x_A; y_B - y_A)– luôn lấy điểm cuối trừ điểm đầu.
  • Có thể sử dụng tọa độ vector để tính toán cộng, trừ và nhân với số rất thuận tiện.
  • Áp dụng thực tế trong tính khoảng cách, góc, vị trí trung điểm, đối xứng và các bài toán hình học-phương pháp tọa độ.
  • Cần chú ý dấu và thứ tự khi áp dụng công thức.

    • Nắm vững tọa độ vector sẽ giúp bạn học tốt hơn toàn bộ phần Hình học giải tích và rất nhiều dạng bài toán thực tiễn khác.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".