Ứng dụng thực tiễn của đồ thị hàm số bậc hai – Hướng dẫn dành cho học sinh lớp 10

Vậy doanh nghiệp nên bán 8 sản phẩm để đạt lợi nhuận lớn nhất. Giá trị lợi nhuận lớn nhất:

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng đồ thị hàm số bậc hai

- Nếu$a > 0$, parabol hướng lên, đỉnh là điểm thấp nhất (bài toán tìm giá trị nhỏ nhất).

- Nếu$a < 0$, parabol hướng xuống, đỉnh là điểm cao nhất (bài toán tìm giá trị lớn nhất).

- Luôn kiểm tra xem nghiệm của phương trình có phù hợp với điều kiện thực tế không (ví dụ: thời gian phải dương, số lượng phải là số tự nhiên,...).

- Một số bài toán thực tế chỉ nằm trong khoảng xác định cụ thể (ví dụ: số sản phẩm không thể âm).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Đồ thị hàm số bậc hai liên kết chặt chẽ với các kiến thức sau:

• Hàm số bậc nhất: Hàm số bậc hai là bước phát triển tiếp theo sau khi học hàm số bậc nhất.
• Phương trình – bất phương trình bậc hai: Nhiều bài toán thực tiễn quy về việc giải các phương trình này.
• Tính đơn điệu, cực trị của hàm số (chủ đề lớn ở lớp 12 và giải tích sau này).
• Các chủ đề tối ưu hóa trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế,...

6. Một số bài tập mẫu về ứng dụng thực tiễn của đồ thị hàm số bậc hai (có lời giải)

Bài tập 1: Một vận động viên nhảy cao ném bóng lên theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu$10\,\text{m/s}$. Hỏi bóng đạt độ cao tối đa sau bao lâu và độ cao đó là bao nhiêu? (lấy$g = 10\,\text{m/s}^2$).

Giải:

Công thức:$h(t) = -5t^2 + 10t$.

- Thời gian đạt độ cao lớn nhất:$t_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \times (-5)} = 1$(giây)

- Độ cao lớn nhất:$h_{max} = h(1) = -5 \times 1^2 + 10 \times 1 = 5\,\text{m}$

Bài tập 2: Một hình chữ nhật có chu vi bằng$20\,\text{cm}$. Hãy tìm chiều dài và chiều rộng để diện tích lớn nhất.

Giải:

Gọi chiều dài là $x$, chiều rộng là $y$. Có $2x + 2y = 20 \Rightarrow x + y = 10$.

Diện tích:$S = x y = x(10 - x) = -x^2 + 10x$

- Đỉnh của parabol:$x_{max} = -\frac{10}{2 \times (-1)} = 5$

Vậy chiều dài, chiều rộng đều là $5\,\text{cm}$để$S$lớn nhất (hình vuông).

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không kiểm tra điều kiện thực tế của bài toán (ví dụ: thời gian hoặc số lượng nhỏ hơn 0 là không hợp lý).
• Nhầm lẫn dấu hệ số $a$khi xác định hướng của parabol hoặc giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
• Quên thay số hoặc tính toán sai khi tìm giá trị đỉnh.
• Không giải thích rõ mối liên hệ giữa nghiệm phương trình với câu hỏi thực tế.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Hàm số bậc hai có dạng$y = ax^2 + bx + c$, đồ thị là một parabol.
• Ứng dụng thực tiễn phong phú: vật lý (quỹ đạo), tối ưu hoá (lợi nhuận, diện tích), kỹ thuật...
• Hoành độ đỉnh:$x_v = -\frac{b}{2a}$.
• Khi giải bài toán thực tế, cần phân tích điều kiện và ý nghĩa các nghiệm, kiểm tra kết quả có phù hợp thực tế không.

Hiểu rõ về ứng dụng thực tiễn của đồ thị hàm số bậc hai sẽ giúp bạn không chỉ giỏi môn Toán mà còn vận dụng tốt kiến thức này để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày hoặc các lĩnh vực chuyên môn khác trong tương lai.