Blog

Vận dụng hàm số vào bài toán thực tế lớp 10: Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn luyện tập miễn phí

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Vận dụng hàm số vào bài toán thực tế” là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Đây là phần giúp các bạn hiểu và áp dụng kiến thức về hàm số vào giải quyết các bài toán xuất phát từ các vấn đề trong cuộc sống như: tính toán chi phí, xác định quãng đường di chuyển, phân tích lợi nhuận, tối ưu hoá các giá trị, v.v.

Hiểu được cách vận dụng hàm số không chỉ giúp bạn học tốt môn Toán, mà còn hình thành tư duy giải quyết vấn đề thực tế bằng phân tích định lượng. Đây cũng là nền tảng cho các môn học và ngành nghề sau này (kinh tế, kỹ thuật, công nghệ...). Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hàng trăm bài tập ngay sau khi đọc xong bài viết này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

Để vận dụng hàm số hiệu quả vào bài toán thực tế, bạn cần nắm chắc hai nhóm kiến thức: lý thuyết cơ bản và công thức, quy tắc giải toán.

2.1 Lý thuyết cơ bản

  • Khái niệm hàm số: Hàm số là mối liên hệ giữa hai tập hợp, trong đó mỗi phần tử của tập xác định tương ứng với duy nhất một phần tử ở tập giá trị.
  • Biểu diễn hàm số: Bằng công thức đại số, bảng giá trị, đồ thị.
  • Các loại hàm cơ bản thường xuất hiện trong thực tế: hàm bậc nhất (y=ax+by=ax+b), bậc hai (y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c), hàm tỉ lệ, hàm ngược...
  • Định lý và tính chất: Sự đồng biến, nghịch biến, cực trị (giá trị lớn nhất, nhỏ nhất), nghiệm của hàm số.
  • Điều kiện áp dụng: Xác định đúng miền xác định, giá trị thực tế,...

2.2 Công thức và quy tắc

  • Các công thức hàm số bậc nhất, bậc hai thường gặp:y=ax+by=ax+b,y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c.
  • Công thức liên quan tính nghiệm: ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, nghiệm x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
  • Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn: So sánh giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt và biên.
  • Công thức xác định miền xác định của hàm số trong từng bài toán.
  • Cách ghi nhớ: Luyện tập với ví dụ thực tế, viết lại công thức vào giấy ghi chú và giải thích ý nghĩa của từng hạng tử.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Một cửa hàng bán dép có chi phí sản xuất là 50.000 VNĐ/đôi, mỗi đôi bán với giá xx(nghìn đồng). Nếu bán với giá xx, số lượng bán ra là 100x100 - x(đôi/ngày). Hỏi doanh thu/ngày đạt giá trị lớn nhất khi giá bán là bao nhiêu?

Lời giải từng bước:

  1. Biểu diễn doanh thu theoxx: Doanh thuR(x)=x×(100x)R(x) = x \times (100 - x)(nghìn đồng)
  2. Xác định miền xác định:0<x<1000 < x < 100(vì số lượng bán ra phải dương).
  3. Tìm giá trị lớn nhất củaR(x)=100xx2R(x) = 100x - x^2trên đoạn(0,100)(0,100).
  4. Lấy đạo hàmR(x)=1002xR'(x) = 100 - 2x. ChoR(x)=0R'(x) = 0ta đượcx=50x=50.
  5. Kiểm tra tạix=50x=50:R(50)=50×(10050)=2.500R(50) = 50 \times (100-50) = 2.500(nghìn đồng).

Vậy doanh thu lớn nhất khi giá bán là 50.000 VNĐ/đôi.

Lưu ý: Luôn xác định miền xác định phù hợp với thực tế (giá tiền, số lượng > 0).

3.2 Ví dụ nâng cao

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 100m. Hãy xác định chiều dài và chiều rộng sao cho diện tích lớn nhất.

  1. Gọi chiều dài là xx, chiều rộng là yy. Ta có 2x+2y=100x+y=50y=50x2x+2y=100 \Rightarrow x+y=50 \Rightarrow y=50-x.
  2. Diện tíchS=xy=x(50x)=50xx2S = x \cdot y = x \cdot (50-x) = 50x - x^2.
  3. TìmxxđểSSlớn nhất:S(x)=502x=0x=25S'(x) = 50 - 2x = 0 \Rightarrow x=25
  4. Vậyx=25x=25,y=25y=25. Diện tích lớn nhất khi mảnh vườn là hình vuông.

Kỹ thuật giải nhanh: Nhận ra biểu thức diện tích là một hàm bậc hai và luôn đạt cực đại ở đỉnh.

4. Các trường hợp đặc biệt

  • Nếu bài toán chỉ xét giá trị nguyên, cần xét các trị nguyên gần nghiệm.
  • Với điều kiện bất thường (ví dụ giá xxkhông nhỏ hơn chi phí), cần thu hẹp miền xác định.
  • Bài toán có nhiều ẩn, sử dụng thêm các phương pháp khác (hệ phương trình, bất đẳng thức…).

Các khái niệm liên quan: hàm hợp, hệ bất phương trình, tối ưu hóa, đồ thị hàm số.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

  • Hiểu sai ý nghĩa thực tế của biến số.
  • Nhầm lẫn giữa giá trị cực trị và nghiệm phương trình.
  • Nhớ công thức máy móc mà không xét miền xác định thực tế.

5.2 Lỗi về tính toán

  • Nhập sai giá trị hoặc đơn vị tính.
  • Áp dụng đạo hàm hoặc công thức tìm cực trị sai.
  • Không kiểm tra kết quả bằng cách thay ngược vào bài toán gốc.

Cách khắc phục: Hãy vẽ đồ thị, kiểm tra lại giá trị, đọc kỹ đề để xác định yêu cầu thực tế.

6. Luyện tập miễn phí ngay

  • Truy cập hàng trăm bài tập Vận dụng hàm số vào bài toán thực tế miễn phí ngay trên hệ thống.
  • Không cần đăng ký, luyện tập trực tiếp và xem đáp án chi tiết.
  • Theo dõi tiến độ, nhận gợi ý ôn tập và cải thiện kỹ năng mỗi ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Hiểu rõ khái niệm hàm số và các tính chất liên quan.
  • Xác định đúng mô hình toán học từ bài toán thực tế.
  • Vẽ đồ thị để dễ hình dung mối liên hệ, kiểm tra miền xác định thực tế.
  • Luyện tập đa dạng bài tập thực tế để tăng kỹ năng vận dụng.

Checklist ôn tập:

  • Nắm chắc công thức hàm số bậc nhất, bậc hai, cách tìm cực trị
  • Đọc hiểu dữ liệu bài toán thực tế
  • Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị
  • Kiểm tra đáp số bằng cách thay ngược lại vào bài toán gốc

Chúc các bạn học tốt, luyện tập vui vẻ và tự tin giải quyết mọi bài toán thực tế với chủ đề Vận dụng hàm số vào bài toán thực tế lớp 10!

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".