Chi tiết về cách vẽ đồ thị hàm số y = ax^2 + bx + c với a, b, c cố định – Hướng dẫn cho học sinh lớp 10

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng trong chương trình toán học

Hàm số bậc hai dạng$y = ax^2 + bx + c$là một nội dung cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Việc hiểu và vẽ đúng đồ thị hàm bậc hai giúp học sinh làm tốt các bài toán về hàm số, phương trình – bất phương trình bậc hai cũng như ứng dụng giải các bài toán thực tế trong cuộc sống và các kỳ kiểm tra. Đồ thị của hàm số này là một parabol (một hình cong đặc biệt), thể hiện rõ mối quan hệ giữa các biến và vận dụng được vào nhiều vấn đề trong học tập cũng như các lĩnh vực khoa học khác.

2. Định nghĩa chính xác của đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị hàm số bậc hai là tập hợp tất cả các điểm$M(x; y)$trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho$y = ax^2 + bx + c$, với$a, b, c$là các hằng số và $a \ne 0$. Đường cong tạo thành có tên gọi là "parabol".

3. Hướng dẫn từng bước vẽ đồ thị hàm số y = ax^2 + bx + c

Để vẽ đúng và đẹp đồ thị hàm bậc hai, các em cần thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định định dạng và chiều của parabol
• Nếu$a > 0$, parabol hướng lên trên; nếu$a < 0$, parabol hướng xuống dưới.
• Bước 2: Xác định đỉnh của parabol
• Đỉnh$A(x_{v}; y_{v})$có tọa độ:$x_{v} = -\frac{b}{2a}$,$y_{v} = f(x_{v}) = a(x_{v})^2 + b(x_{v}) + c$
• Bước 3: Xác định trục đối xứng
• Trục đối xứng là đường thẳng$x = x_{v}$(đi qua đỉnh parabol).
• Bước 4: Xác định giao điểm với các trục
• Giao với trục hoành ($y = 0$): Giải phương trình$ax^2 + bx + c = 0$để tìm các hoành độ$x$. Giao với trục tung ($x=0$):$y = c$.
• Bước 5: Vẽ bảng giá trị
• Lấy thêm một số giá trị xung quanh đỉnh để tính giá trị tương ứng của$y$, giúp vẽ parabol chính xác hơn.
• Bước 6: Vẽ parabol
• Dựa trên các điểm vừa tìm được, vẽ parabol qua các điểm và đối xứng qua trục$x=x_{v}$.

Ví dụ minh họa cụ thể:

Cho hàm số $y = 2x^2 - 4x + 1$. Ta thực hiện các bước:

1. Bước 1:$a = 2 > 0$=> Parabol hướng lên.
2. Bước 2:$x_v = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$;$y_v = 2 \times 1^2 - 4 \times 1 + 1 = -1$=> Đỉnh$A(1, -1)$
3. Bước 3: Trục đối xứng$x = 1$.
4. Bước 4: Giao với trục tung ($x=0$): $y = 1$. Giao với trục hoành ($y=0$): $2x^2 - 4x + 1 = 0$⇔$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
5. Bước 5:Bảng giá trị:

Bước 6: Vẽ parabol đi qua các điểm vừa lập, chú ý đối xứng trục$x = 1$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu$b = 0$thì trục đối xứng là $x = 0$.
• Nếu$c = 0$thì đồ thị đi qua gốc tọa độ.
• Nếu$\Delta = b^2 - 4ac < 0$, parabol không cắt trục hoành (không có nghiệm).
• Nếu$\Delta = 0$, parabol tiếp xúc trục hoành tại duy nhất một điểm (nghiệm kép).
• Nếu$a$có giá trị càng lớn (dương hoặc âm), parabol càng "hẹp";$a$nhỏ về trị tuyệt đối, parabol càng "mở rộng".

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Vẽ đồ thị hàm bậc hai giúp giải phương trình – bất phương trình bậc hai, khảo sát hàm số, giải các bài toán về quãng đường, vận tốc trong vật lý và nhận biết sự thay đổi của các đại lượng dưới dạng parabol. Ngoài ra, kiến thức này còn là nền tảng để học các kiến thức về đạo hàm, cực trị, tích phân ở các lớp sau.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số $y = -x^2 + 2x -3$.

• Bước 1:$a = -1 < 0$nên parabol hướng xuống.
• Bước 2:$x_v = -\frac{2}{2 \times (-1)} = 1$,$y_v = -1^2 + 2 \times 1 - 3 = -1 + 2 -3 = -2$. Đỉnh$A(1; -2)$.
• Bước 3: Trục đối xứng$x = 1$.
• Bước 4: Giao với trục tung tại$y = -3$. Giải$-x^2 + 2x - 3 = 0$,$x^2 - 2x + 3 = 0$(không có nghiệm thực do$\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$, parabol không cắt trục hoành).
• Bước 5: Lập bảng giá trị các điểm tiêu biểu quanh$x = 1$.

• Bước 6: Vẽ parabol qua các điểm đã chọn, đối xứng qua$x = 1$.

Bài tập 2: Với$y = x^2 + 4$, xác định trục đối xứng, đỉnh, các điểm cắt trục, dạng parabol.

• Đỉnh:$x_v = 0$,$y_v = 4$
• Trục đối xứng:$x = 0$
• Dạng:$a = 1 > 0$, parabol hướng lên.
• Điểm cắt trục hoành: Không có (vì $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$, không có nghiệm).
• Cắt trục tung tại$(0; 4)$.

7. Những lỗi thường gặp khi vẽ đồ thị hàm số bậc hai và cách tránh

• Nhầm dấu$a$, dẫn đến vẽ sai chiều parabol.
• Tính sai tọa độ đỉnh, dẫn đến sai trục đối xứng.
• Không lấy đủ điểm để vẽ parabol, khiến đồ thị thiếu chính xác.
• Quên kiểm tra nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành.
• Chú ý kiểm tra cẩn thận các phép tính đại số, đặc biệt khi giải phương trình bậc hai.

8. Tóm tắt và ghi nhớ

• $y = ax^2 + bx + c$luôn có đồ thị là parabol.
• Các bước vẽ: xác định chiều, đỉnh, trục đối xứng, giao điểm với trục, bảng giá trị, vẽ đối xứng.
• Chú ý các trường hợp đặc biệt khi$b = 0$,$c = 0$,$\Delta < 0$,…
• Đồ thị hàm số bậc hai là bước đệm quan trọng cho các kiến thức toán học cao hơn.