1. Giới thiệu về vẽ elip theo phương trình chính tắc và tầm quan trọng

Trong chương trình hình học lớp 10, việc học về đường elip và vẽ elip theo phương trình chính tắc là nội dung quan trọng. Không chỉ giúp học sinh hiểu về các dạng đường conic (bao gồm elip, parabol, hyperbol), mà còn rèn luyện sự chính xác và kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn – từ việc nhận dạng, tính toán đến ứng dụng trong các bài toán thực tế và các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật.

2. Định nghĩa và phương trình chính tắc của elip

Đường elip là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ mỗi điểm đó tới hai điểm cố định (gọi là hai tiêu điểm) luôn không đổi và lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm.

Phương trình chính tắc của elip (khi elip có tâm$O(0,0)$, trục lớn trùng trục hoành$Ox$, trục nhỏ trùng trục tung$Oy$) là:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)$

Ở đó,$a$là nửa trục lớn,$b$là nửa trục nhỏ của elip.

3. Các bước vẽ elip theo phương trình chính tắc

Giả sử phương trình đã cho là:

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

• Xác định các thông số:$a^2 = 9$nên$a = 3$;$b^2 = 4$nên$b = 2$.
• Xác định tâm elip: Vì không có $h$hay$k$nên tâm elip là $O(0, 0)$.
• Vẽ trục lớn$2a = 6$đơn vị (tức từ$(-3, 0)$ đến$(3, 0)$) trên trục$Ox$.
• Vẽ trục nhỏ $2b = 4$đơn vị (tức từ$(0, -2)$ đến$(0, 2)$) trên trục$Oy$.
• Nối đều các điểm đầu mút lại thành hình bầu dục – chính là đường elip.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi vẽ elip

• Nếu phương trình elip có dạng$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$thì trục lớn nằm trên trục$Oy$.
• Nếu phương trình có dạng$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$, elip có tâm$A(h, k)$.
• Cần xác định đúng trục lớn và trục nhỏ, tránh nhầm lẫn$a$và $b$.

5. Mối liên hệ của elip với các khái niệm toán học khác

Elip là một trong ba dạng đường conic (cùng với parabol và hyperbol). Nó là bước đầu để học về các khái niệm như chỏm elip, tiêu điểm, trục đối xứng, hay các ứng dụng thực tế trong thiên văn học, kỹ thuật cơ khí, v.v. Elip còn liên hệ với hình tròn – theo nghĩa hình tròn là elip với$a = b$.

6. Các bài tập mẫu và hướng dẫn giải

Bài 1: Vẽ elip có phương trình$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$.

- Giải:
+$a^2=16 \Rightarrow a=4$,$b^2=9 \Rightarrow b=3$.
+ Tâm elip:$O(0,0)$.
+ Trục lớn:$2a=8$(từ $(-4,0)$ đến$(4,0)$).
+ Trục nhỏ:$2b=6$(từ $(0,-3)$ đến$(0,3)$).
+ Nối các điểm lại thành hình elip.

Bài 2: Vẽ elip có phương trình$\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$.

- Giải:
+$a^2=25 \Rightarrow a=5$,$b^2=9 \Rightarrow b=3$.
+ Tâm elip:$A(2,-1)$.
+ Trục lớn:$2a=10$(từ $(2-5,-1)=( -3, -1)$ đến$(2+5,-1)=(7,-1)$).
+ Trục nhỏ:$2b=6$(từ $(2,-1-3)=(2,-4)$ đến$(2, -1+3)=(2,2)$).
+ Vẽ các trục và nối thành hình elip.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa trục lớn và trục nhỏ (lưu ý:$a > b$).
• Ngộ nhận trục lớn luôn nằm trên$Ox$, thực ra cần xét mẫu số nào lớn hơn.
• Không xác định đúng tâm elip khi phương trình dịch chuyển.
• Không chia đều đơn vị trên trục tọa độ khi vẽ, dẫn tới hình elip méo.

8. Tóm tắt và các điểm cần ghi nhớ

• Elip là một dạng đường conic quan trọng, phương trình chính tắc cho phép xác định đơn giản tâm và các trục của elip.
• Nắm vững cách xác định$a$,$b$, tâm elip và vẽ đúng trục lớn, trục nhỏ.
• Cẩn thận với các dấu hiệu đặc biệt trong đề bài, tránh nhầm lẫn giữa các thông số.
• Thực hành vẽ nhiều giúp ghi nhớ hình dạng và vị trí elip tốt hơn.