1. Giới thiệu về hyperbol và tầm quan trọng của định nghĩa hình học

Hyperbol là một trong bốn dạng conic (đường tròn, elip, parabol, hyperbol) quan trọng trong chương trình Toán lớp 10. Việc hiểu và biết cách vẽ hyperbol không chỉ giúp các em rèn luyện kỹ năng hình học, mà còn tạo nền tảng kiến thức cho các nội dung về hàm số, bất phương trình bậc hai cũng như những ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật. Định nghĩa hình học của hyperbol tạo cho các bạn một cái nhìn trực quan, dễ nhớ về bản chất của loại đường cong này và từ đó dễ dàng dựng hình, giải toán liên quan tới hyperbol.

2. Định nghĩa hyperbol theo hình học

Định nghĩa hình học của hyperbol như sau: Hyperbol là quỹ tích những điểm trong mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định (gọi là F1 và F2 - tiêu điểm) luôn không đổi và tuyệt đối lớn hơn không.

Với$F_1$,$F_2$là hai tiêu điểm cố định,$a$là một hằng số dương. Hiệu số này phải lớn hơn 0 để hình thành hyperbol (không phải elip).

3. Các bước vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học

Để vẽ được hyperbol theo định nghĩa hình học, làm tuần tự các bước sau:

• Bước 1: Xác định hai tiêu điểm$F_1$và $F_2$. Kẻ đường thẳng nối$F_1F_2$, lấy trung điểm$O$của$F_1F_2$.
• Bước 2: Chọn$a$với$2a < F_1F_2$(lưu ý: hiệu khoảng cách không thể lớn hơn$F_1F_2$), xác định trục chính đi qua hai tiêu điểm.
• Bước 3: Với mỗi điểm$M$trên hyperbol, dựng các khoảng cách đến$F_1$,$F_2$sao cho$|MF_1 - MF_2| = 2a$. Dùng sợi chỉ hoặc compa để xác định vị trí điểm$M$thỏa mãn.
• Bước 4: Dựng nhiều điểm$M$như thế và nối lại, ta được hai nhánh hyperbol.

4. Ví dụ minh họa

Cho hai điểm$F_1$($-3$,$0$) và $F_2$($3$,$0$), lấy$2a = 4$. Hãy vẽ hyperbol, xác định các điểm trên hyperbol.

- Với mỗi điểm$M(x, y)$trên hyperbol:

- Gọi $d_1 = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$, $d_2 = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

Học sinh chọn các giá trị $x$rồi thay vào để tìm$y$tương ứng, từ đó xác định các điểm thuộc hyperbol và nối lại."

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

Lưu ý:Nếu$2a < F_1F_2$, hyperbol có hai nhánh. Nếu$2a = F_1F_2$thì hyperbol suy biến thành hai đường thẳng; nếu$2a > F_1F_2$thì không tồn tại hyperbol.

• Không nhầm lẫn với định nghĩa của elip: đối với elip là tổng khoảng cách không đổi.
• Luôn lấy giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hyperbol có vị trí quan trọng trong hình học giải tích: Là một trong bốn loại đường conic. Định nghĩa hình học liên quan chặt chẽ tới định nghĩa đại số (phương trình tọa độ). Ngoài ra, so sánh nhanh với:

• Elip: Tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm không đổi:$MF_1 + MF_2 = 2a$
• Hyperbol: Hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm không đổi:$|MF_1 - MF_2| = 2a$
• Parabol: Khoảng cách đến tiêu điểm bằng khoảng cách đến đường chuẩn.

7. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hai điểm$F_1(0, 2)$và $F_2(0, -2)$, vẽ hyperbol với$2a = 2$.

Giải: Phương trình hyperbol là: $|\sqrt{x^2 + (y-2)^2} - \sqrt{x^2 + (y+2)^2}| = 2$
Chọn một số giá trị $y$, giải phương trình để tìm $x$. Lấy các cặp ($x$, $y$) và vẽ trên mặt phẳng tọa độ.

Bài 2: Chứng minh rằng với$F_1(-c, 0)$,$F_2(c, 0)$và $2a$, phương trình đại số của hyperbol là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Tìm$b$theo$a$và $c$.

Giải: Từ định nghĩa:$|MF_1 - MF_2| = 2a$, sau khi bình phương và biến đổi, thu được:$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$trong đó $b^2 = c^2 - a^2$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Không lấy đúng vị trí tiêu điểm hoặc$2a$không thỏa mãn điều kiện$0 < 2a < F_1F_2$.
• Nhầm hyperbol với elip (dùng tổng thay vì hiệu khoảng cách).
• Hay quên lấy giá trị tuyệt đối khi tính hiệu khoảng cách.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Hyperbol là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm cố định luôn không đổi và lớn hơn$0$. Để vẽ hyperbol theo định nghĩa hình học, cần xác định hai tiêu điểm, chọn giá trị $2a$phù hợp và xây dựng các điểm thỏa mãn điều kiện. Cần phân biệt rõ với các conic khác, đặc biệt là elip và nhớ luôn áp dụng giá trị tuyệt đối khi tính hiệu khoảng cách.