1. Giới thiệu về khái niệm vẽ parabol theo định nghĩa hình học và tầm quan trọng của nó

Trong chương trình toán học phổ thông, parabol là một dạng đặc biệt của đường conic có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn như: gương parabol, ăng-ten chảo, mô hình chuyển động ném, … Việc hiểu rõ cách vẽ parabol theo định nghĩa hình học không chỉ giúp nắm chắc lý thuyết mà còn phát triển tư duy trực quan, hình học, là nền tảng cho các khái niệm và dạng bài tập ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa parabol theo định nghĩa hình học

Parabol là quỹ tích các điểm nằm trên mặt phẳng, mỗi điểm cách một điểm cố định (gọi là tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (gọi là đường chuẩn) một khoảng bằng nhau.

Với$F$là tiêu điểm,$d$là đường chuẩn, quỹ tích các điểm$M$sao cho$MF = d(M,d)$(khoảng cách từ $M$ đến$F$bằng khoảng cách từ $M$ đến đường chuẩn$d$) là parabol.

3. Cách vẽ parabol theo định nghĩa hình học – các bước chi tiết minh họa

Giả sử ta vẽ parabol với tiêu điểm$F(0,p)$và đường chuẩn$d: y= -p$, với$p>0$. Các bước thực hiện như sau:

1. Vẽ một trục tọa độ $Oxy$trên giấy.
2. Chọn một điểm$F$(tiêu điểm) trên trục tung, ví dụ $F(0,2)$. Vẽ đường chuẩn$d: y = -2$(song song trục hoành, cách gốc$O$2 đơn vị theo hướng âm).
3. Lấy một điểm$M(x, y)$bất kỳ sao cho$y > -2$, ta cần tìm những điểm sao cho$MF = d(M, d)$.
4. Với mỗi giá trị $y$nên$y > -2$, bạn kẻ các đoạn thẳng từ $F$ đến$M$và đo chiều dài$MF$. Đồng thời, đo khoảng cách vuông góc từ $M$xuống đường chuẩn.
5. Dùng compa, đặt chân một tại$F$, chân kia lên một chấm bất kỳ trên mặt phẳng. Vẽ cung tròn bán kính bất kỳ. Từ vị trí vừa chọn, hạ vuông góc từ $M$xuống đường chuẩn đo đúng bán kính đó, xác định giao điểm trên mặt phẳng. Điểm đó chính là $M$, thuộc parabol.
6. Lặp lại các thao tác cho nhiều vị trí khác để có một tập hợp các điểm$M$. Nối nhẵn các điểm ta được đồ thị parabol.

4. Ví dụ minh họa cụ thể

Cho tiêu điểm$F(0,2)$, đường chuẩn$d: y = -2$.

Với một điểm$M(1, y)$, ta có khoảng cách từ $M$ đến$F$là:

Khoảng cách từ $M$ đến$d$là $y - (-2) = y + 2$.

Để $M$thuộc parabol, điều kiện:$MF = d(M, d)$

Vậy, một điểm$M(1, \frac{1}{8})$thuộc parabol. Tiếp tục xác định thêm các điểm, ta nối lại sẽ được parabol.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• Nếu$F$ ở trên trục hoành, đường chuẩn song song với trục hoành → parabol mở lên hoặc xuống
• Nếu$F$trên trục hoành, đường chuẩn song song với trục tung → parabol mở sang trái hoặc phải
• Khoảng cách từ điểm đến đường chuẩn luôn lấy giá trị tuyệt đối!
• Chỉ vẽ parabol cho các điểm nằm về phía tiêu điểm so với đường chuẩn

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Parabol là một trường hợp đặc biệt của đường conic, ngoài ra còn có elip và hypebol. Dạng tổng quát của parabol trên mặt phẳng$Oxy$là:

Khi hiểu về định nghĩa hình học, ta sẽ dễ dàng liên hệ đến phương trình đại số và giải các bài toán liên quan tới giao điểm, phân tích đồ thị ...

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tiêu điểm$F(0,1)$, đường chuẩn$d: y = -1$. Hãy xác định phương trình parabol.

Lời giải:

Gọi$M(x, y)$thuộc parabol, khi đó:$MF = d(M, d)$

Vì $y > -1$, bỏ dấu trị tuyệt đối:

Vậy phương trình parabol là $x^2 = 4y$.

Bài 2: Vẽ hình parabol trong trường hợp tiêu điểm$F(1,0)$, đường chuẩn$d: x = -1$.

Lời giải: Làm tương tự, với $M(x, y)$, ta có $MF = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2}$, $d(M, d) = |x+1|$.

Vậy ta xác lập điều kiện: $\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = |x+1|$.

Thoát khỏi trị tuyệt đối khi$x > -1$:

Vậy phương trình parabol là $y^2 = 4x$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Quên lấy trị tuyệt đối khoảng cách từ điểm đến đường chuẩn.
• Nhầm lẫn vị trí tiêu điểm và đường chuẩn – dẫn đến vẽ parabol sai hướng mở.
• Không lấy đủ số điểm thuộc parabol khiến đường vẽ không chính xác, không mượt.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Parabol là quỹ tích các điểm cách đều tiêu điểm và đường chuẩn.
• Để vẽ cần xác định đúng vị trí tiêu điểm, đường chuẩn và áp dụng định nghĩa hình học.
• Luôn kiểm tra các điều kiện đặc biệt về vị trí, trị tuyệt đối khoảng cách.
• Hiểu định nghĩa hình học giúp làm chủ các bài toán về đường parabol trong cả hình học và đại số.