Giới thiệu về vectơ bằng nhau và vectơ - không

Trong chương trình Toán học lớp 10, khái niệm vectơ đóng vai trò quan trọng trong hình học và nhiều lĩnh vực liên quan. Vectơ là công cụ hiệu quả để mô tả các đại lượng có hướng và độ lớn, như vận tốc, lực... Hiểu rõ vectơ bằng nhau và vectơ - không là nền tảng để tiếp cận các vấn đề phức tạp hơn của hình học giải tích, vật lý, cũng như các ứng dụng thực tế sau này.

1. Định nghĩa "vectơ bằng nhau" và "vectơ - không"

- Vectơ bằng nhau: Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài (hay còn gọi là cùng phương, cùng độ lớn).

- Vectơ - không: Vectơ có điểm đầu trùng với điểm cuối, hay vectơ có độ dài bằng$0$. Ký hiệu thường dùng là $\overrightarrow{0}$.

2. Giải thích chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử ta có hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$trên mặt phẳng.

- Hai vectơ này bằng nhau khi:

Ví dụ: Trên mặt phẳng Oxy,$A(1;2)$,$B(4;6)$,$C(2;0)$,$D(5;4)$. Tính$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$.

-$\overrightarrow{AB} = (4-1; 6-2) = (3;4)$

-$\overrightarrow{CD} = (5-2; 4-0) = (3;4)$

Vậy$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Hai vectơ này có cùng hướng và cùng độ dài nên chúng bằng nhau.

3. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

4. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Vectơ là nền móng thể hiện các phép biến hình trong hình học, giúp định nghĩa phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay...

- Vectơ bằng nhau giúp nhận biết các phép đối xứng song song, các tam giác đồng dạng...

- Trong đại số, vectơ đóng vai trò chủ chốt trong không gian tọa độ, không gian véc-tơ, giải hệ phương trình tuyến tính...

5. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho$A(0,3)$,$B(2,7)$,$C(1,1)$,$D(3,5)$. Chứng minh$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

• Giải:

$\overrightarrow{AB} = (2-0, 7-3) = (2,4)$

$\overrightarrow{CD} = (3-1, 5-1) = (2,4)$

Vậy$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

Bài 2: Cho điểm$A(2,3)$. Xác định vectơ - không tại điểm$A$và nêu nhận xét.

• Giải:

$\overrightarrow{AA} = (2-2, 3-3) = (0,0)$. Như vậy, vectơ - không tại điểm$A$có tọa độ $(0,0)$, không có hướng và độ dài là $0$.

Bài 3: Tìm các cặp vectơ bằng nhau trong các vectơ sau, biết$\overrightarrow{u} = (4;2)$,$\overrightarrow{v} = (6;1)$,$\overrightarrow{w} = (2;1)$,$\overrightarrow{x} = (4;2)$.

• Giải:

$\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{x}$cùng tọa độ nên$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{x}$là một cặp vectơ bằng nhau.

Các cặp khác không bằng nhau do khác tọa độ.

6. Các lỗi thường gặp và cách tránh

7. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Hiểu rõ và vận dụng thành thạo các khái niệm về vectơ bằng nhau và vectơ - không không chỉ giúp giải tốt hình học mà còn là chìa khóa cho nhiều lĩnh vực toán học và vật lý ở trình độ cao hơn.