1. Giới thiệu về "Xác định dấu của tam thức bậc hai qua đồ thị"

Trong chương trình toán học lớp 10, việc xác định dấu của tam thức bậc hai là bước nền tảng quan trọng để giải các bất phương trình bậc hai. Thay vì chỉ dùng bảng xét dấu, việc sử dụng đồ thị giúp học sinh hình dung trực quan hơn và củng cố khả năng tư duy toán học. Biết được dấu của tam thức bậc hai, ta có thể nhận biết khoảng đồng biến, nghịch biến, xác định miền nghiệm cho bất phương trình, và áp dụng trong rất nhiều bài toán thực tế.

2. Định nghĩa: Xác định dấu của tam thức bậc hai qua đồ thị là gì?

Tam thức bậc hai có dạng tổng quát là $f(x) = ax^2 + bx + c$với$a \neq 0$. Dấu của$f(x)$tại từng điểm$x$ được xác định là dương ($f(x) > 0$), âm ($f(x) < 0$) hoặc bằng$0$($f(x) = 0$). Khi biểu diễn$f(x)$dưới dạng đồ thị, ta sẽ nhận được một đường parabol. Xác định dấu của tam thức bậc hai qua đồ thị nghĩa là dựa vào hình dạng và vị trí của parabol so với trục hoành ($Ox$), từ đó tìm ra các khoảng trên trục$x$mà tại đó $f(x)$dương hoặc âm.

3. Các bước xác định dấu bằng đồ thị kèm ví dụ minh họa

Hãy cùng đi từng bước cụ thể với ví dụ minh họa:

Xét tam thức$f(x) = x^2 - 3x + 2$.

• Bước 1: Xác định hệ số $a$và hướng bề lõm của parabol.

Ở đây$a = 1 > 0$, parabol có bề lõm hướng lên trên.

• Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình$f(x) = 0$bằng cách giải$x^2 - 3x + 2 = 0$.

Giải phương trình:$x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 2$.

• Bước 3: Vẽ đồ thị (phác thảo) parabol qua hai điểm cắt trục hoành tại$x = 1$và $x = 2$.

Parabol nằm phía trên trục hoành khi$x < 1$hoặc$x > 2$, nằm dưới trục hoành khi$1 < x < 2$.

• Bước 4: Kết luận dấu của$f(x)$:

$f(x) > 0$khi$x < 1$hoặc$x > 2$;$f(x) < 0$khi$1 < x < 2$;$f(x) = 0$khi$x = 1$hoặc$x = 2$.

Lưu ý: Nếu$a < 0$, mọi điều trên ngược lại: parabol hướng xuống dưới.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

• a) Parabol không cắt trục hoành ($\Delta < 0$):

Nếu$a > 0$parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành,$f(x) > 0$với mọi$x$.

Nếu$a < 0$parabol hoàn toàn phía dưới trục hoành,$f(x) < 0$với mọi$x$.

• b) Parabol tiếp xúc trục hoành ($\Delta = 0$):

Parabol chỉ chạm vào trục hoành tại một điểm duy nhất$x_0$. Khi đó:

Nếu$a > 0$:$f(x) \geq 0$với mọi$x$,$f(x) = 0$khi$x = x_0$,$f(x) > 0$khi$x <br> \neq x_0$.

Nếu$a < 0$:$f(x) \leq 0$với mọi$x$,$f(x) = 0$khi$x = x_0$,$f(x) < 0$khi$x <br> \neq x_0$.

• c) Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ($\Delta > 0$): Quay lại ví dụ ban đầu.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Xác định dấu của tam thức bậc hai liên quan chặt chẽ với việc giải bất phương trình bậc hai, tìm tập xác định, xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số, và xác định miền giá trị của các biểu thức chứa căn thức, phân thức. Ngoài ra nó còn giúp phân tích yếu tố hình học (giao điểm với trục hoành) và nâng cao năng lực đọc hiểu đồ thị toán học nói chung.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

• Bài 1: Xác định dấu của$g(x) = -2x^2 + 4x - 3$qua đồ thị.

Giải:
Ta có $a = -2 < 0$, parabol hướng xuống.
Tính$<br />\Delta = 16 - 4.(-2).(-3) = 16 - 24 = -8 < 0$. Parabol không cắt trục hoành.
Như vậy,$g(x) < 0$với mọi$x \in \mathbb{R}$.

• Bài 2: Tìm các khoảng mà $h(x) = 2x^2 - 5x + 2$dương và âm.

Giải:
$a = 2 > 0$.
$\Delta = 25 - 16 = 9 > 0 \Rightarrow$có hai nghiệm phân biệt.
Giải$2x^2 - 5x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 2$.
Vì $a > 0$,$h(x) > 0$khi$x < \frac{1}{2}$hoặc$x > 2$;$h(x) < 0$khi$\frac{1}{2} < x < 2$.

• Bài 3: Xác định dấu của$k(x) = 3x^2 + 2x + 1$.

Giải:
$a = 3 > 0$.
$\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$.
Parabol nằm trên trục hoành.$k(x) > 0 \ \forall x$.

7. Những lỗi thường gặp và cách tránh

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Luôn xác định đúng hướng của parabol dựa vào$a$.
- Tìm đủ và đúng các nghiệm của tam thức để xác định vị trí giao với trục hoành.
- Sử dụng đồ thị (phác thảo) để nhận biết nhanh các khoảng$f(x)$dương, âm.
- Nhận biết các trường hợp đặc biệt ($\Delta < 0$,$\Delta = 0$).
- Gắn liền kiến thức này với giải bất phương trình bậc hai, xét miền xác định hàm số chứa căn, phân thức...

Việc hiểu và sử dụng thành thạo "Xác định dấu của tam thức bậc hai qua đồ thị" là chìa khóa để học tốt đại số lớp 10 và tạo nền tảng cho các chuyên đề giải bất phương trình hay khảo sát hàm số sau này.